Тема: Оптимальные экономико-математические модели в планировании и управлении.

План лекции:

1. Принцип оптимальности в планировании и управлении. Общая задача оптимального программирования и ее экономическая интерпретация.

2. Классификация задач оптимального программирования.

3. Формы записи задачи линейного программирования и методы решения.

4. Технология решения задач линейного программирования с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

1. Принцип оптимальности в планировании и управлении. Общая задача оптимального программирования и ее экономическая интерпретация

Оптимальное (математическое) программирование — раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Условием возникновения таких задач, т.е. их практического использования в экономике является: гибкость, альтернативность производст­венно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых прихо­дится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производствен­ной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутиза­ция, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое

п ланово-управленческое решение X = (x₁, x₂,…., х_п), где x_j, (j =l,n) — его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор неко­торого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономиче­ского показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традици­онные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «ми­нимум затрат», «максимум рентабельности» и др.

С лова «учитывало бы внутренние возможности и внеш­ние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) на­кладывается ряд условий(ограничений), т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.

Т аким образом, реализовать на практике принцип опти­мальности в планировании и управлении — это значит ре­шить экстремальную задачу вида:

max(min)f(X), (1)

XD (2)

г де f(x) — математическая запись критерия оптималь­ности — целевая функция.

Задачу условной оптимизации (1), (2) обычно записывают в виде:

Найти максимум или минимум функции

m ax (min) f (x)= f(х₁,х₂,...,х_n) (3)

п ри ограничениях: g₁(х₁,х₂,...,х_n){<,=,>}b₁

g₂(х₁,х₂,...,х_n){<,=,>}b₂ (4)

………………………

g_m(х₁,х₂,...,х_n){<,=,>}b_m

X_j>=0, j = 1, n (5)

Условие (5) необязательно, но его всегда при необходи­мости можно добиться.

Обозначение {<,=,>} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: <,= или >. Более компактная запись:

max(min)f(х₁,х₂,...,х_n) (6)

g_i(х₁,х₂,...,х_n){<,=,>}b_i, i=1,m, (7)

X_j>=0, j = 1, n. (8)

З адача (6)-(8) — общая задача оптимального (мате­матического) программирования, иначе — математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы опти­мальности и системности.

В ектор X ( набор управляющих переменных; X_j>=0, j = 1, n) называется допустимым решением, или планом задачи оп­тимального программирования, если он удовлетворяет систе­ме ограничений 7 и 8. А тот план X (допустимое решение), кото­рый доставляет максимум или минимум целевой функции f(х₁,х₂,...,х_n) называется оптимальным планом (оптималь­ным поведением, или просто решением) задачи оптимально­го программирования.

Таким образом, выбор оптимального управленческого по­ведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности в управлении, практическим применением эко­номико-математического моделирования и решением задачи оптимального (математического) программирования.