Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней.

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет значения средней.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.

Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

2. Средняя гармоническая

2.2 Средняя гармоническая простая. Если объёмы явлений, т.е. произведения Х_i ×f_i по каждой единице равны, то для расчёта средней применяется формула средней гармонической простой:

Например: Две автомашины прошли один и тот же путь: первая со скоростью 60 км/ч, вторая со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомашины.

2.2 Средняя гармоническая взвешенная. Учитывая, что средние выражают качественные свойства изучаемых явлений, важно правильно выбрать вид средней исходя из взаимосвязей явлений и признаков. Когда статистическая информация не содержит частот (f_i ) у отдельных вариант (X), а представлена как их произведение M_i=(X_i × f_i), то для расчёта средней применяется формула средней гармонической взвешенной:

Например: По имеющимся данным о продаже хлеба «Дарницкий» определить среднюю цену одной булки хлеба

№ торгового павильона	Цена одной булки хлеба «Дарницкий» весом 0,5 кг, руб. (Xi)	Сумма выручки от продажи хлеба «Дарницкий», руб. (Mi)	Количество проданных булок , шт
1	10,40	10400	1000
2	9,60	4800	500
3	11,20	11200	1000
Итого:		26400	2500

Средняя цена одной булки хлеба может быть определена делением общей суммы выручки от продажи хлеба на общее количество проданных булок

(1). Но количество проданных булок в каждом торговом павильоне неизвестно, его можно выразить, учитывая особенность исходных данных, делением суммы выручки от продажи хлеба на цену одной булки (2). Подставим значение (f_i) – формулу (2) в формулу (1) и получим

- формулу средней гармонической взвешенной

Средняя цена одной булки хлеба составляет:

Используя для расчёта средней цены формулу средней арифметической простой, получим , что является неверным результатом, так как не учтено количество проданных булок.

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных значений осредняемого признака. Если определить частоты ряда распределения, то можно использовать формулу средней арифметической взвешенной, но формула средней гармонической взвешенной позволяет избежать промежуточных расчётов.