4.2.1 Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.4.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления ₁ до нормали к площадке . Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали , ось у – перпендикулярно ей. Расчетная схема для определения напряжений s _x и t _ху представлена на рис. 4.7. Получим:

Рис. 4.6 Рис. 4.7

,

где - площадь наклонной площадки;

- площадь поперечного сечения, перпендикулярного к ₁;

- полное напряжение, действующее по наклонной площадке.

Учитывая, что , получим:

.

Раскладывая p_a на направление осей х и у, получим

,

Рассмотрим площадку b, перпендикулярную площадке a, угол .

Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны

.

Складывая s_х и s_у, получим s_x + s_y = s₁ = const, т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке b

,

т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.

Нормальные напряжения s_x по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = 0, т.е. в поперечном сечении.

Касательные напряжения τ_xy по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = ± 45⁰.

4.2.2 Плоское напряженное состояние

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис.4.8).

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения (прямая задача).

.Определим напряжения s_x и t_xy, действующие по любой наклонной площадке a по известным главным напряжениям ₁ и ₂ , т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил. Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений s₁, второе – при действии только напряжений s₂ (рис.4.9).

От каждого из напряжений s₁, s₂ напряжения s_x1, s_x2 и t_xy1,t_xy2 в произвольной площадке равны

; ;

; .

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

(4.1)

.

Если рассмотреть площадку с углом наклона , перпендикулярную к площадке a, то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

(4.2)

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

.

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом a = 45^о

.