Перемещения в балках при чистом изгибе

Вопросы лекции:

1. Линейные и угловые перемещения в балках.

2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

3. Метод начальных параметров.

7.1 Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе

В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в больший случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения попереч- ных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).

В основе теории деформации при изгибе лежат:

1. Гипотеза плоских сечений.

2. Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.

С учетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюда­ется искривление ее оси в той же плоскости, происходит так на­зываемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом повора­чиваются и одновременно получают поступательные перемеще­ния (рис. 7.1).

x

z

Рис. 7.1

Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называет­ся прогибом балки в данном сечении и обозначается z.

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты x и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости xz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (z_max/l = 10^2 …10^3, где z_max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

7.2 Определение перемещений путем интегрирования уравнения

изогнутой оси балки

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки, являются z(x) и   (x) =   (x) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты х  функцию пере­мещений z(х) и функцию углов поворота   (х). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать

. (7.1)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой z(х) выражается следующей формулой:

.

Однако, в связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (7.2)

Учитывая выражение, полученное в предыдущей лекции,

из (7.2) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (7.3)

где I_у   момент инерции поперечного сечения балки, относительно ее нейт-

ральной оси;

Е  модуль упругости материала;

E I_у   изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_у (х) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов z(х) и углов поворота   (х), необходимо решить уравнение (7.3), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_у (х) и E I_у (х), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (7.3) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C₁ и С₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров.

7. 3 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое примене­ние при решении различных инженерных задач. Его разработа­ли советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Бе­зухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произволь­ных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспе­чить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях мо­ментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все силовые факторы предыдущего участ­ка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на ле­вых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упру­гой линии и их интегрировании должны соблюдаться следую­щие условия:

1. Начало координат (общее для всех си­ловых участков) выбирается на конце балки:

• если есть заделка, то в заделке,

• если на конце есть опора, то на опоре,

• если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l)⁰, где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент прило­жен.

3. При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно на­правленной нагрузкой той же интенсивности («дополнитель­ная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4. Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси z). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

z

F

l

^x

Рис. 7.2

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

У

x

часток I ( 0 x  l₁ )  M_y (x) = 0.

Участок II (l₁  x  l₂ )  M_y (x) = M.

Участок III (l₂  x l₃ )  M_y (x) = M + F (x  l₂).

Участок IV (l₃ x l₄)  M_y (z) = M + F (x  l₂) +  .

Участок V (l₄  х  l₅) M_у (х) = M + F (х  l₂) +  .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящие перед ним следует учитывать при х> l_i и иг­норировать при х  l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_у (х) для произвольного сечения х может быть записано единой формулой:

M_у(х) = M +F (х  l₂)  + . (7.4)

Подставляя (7.4) в (7.3) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I_у z (x) = C₀ + C₁ x+ + + 

 . (7.5)

Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = E I_y z (0) , C₁ = (7.6)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I_y z(x) = E I_yz₀ +  x + + +

+  . (7.7)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_y  (x) =  + + + 

- . (7.8)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба z₀ , угла поворота ₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

7.4  Пример расчета

Для стальной балки, изображенной на рис. 7.3, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 210⁸ кН/м². По­перечное сечение балки  квадратное со стороной a = 0,2 м.

Рис. 7.3

Решение

1. Определение опорных реакций балки (рис. 7.3).

M₀ =0,    R_B (b + c + e)  q(c + e)b + 0,5(c + e) + M + P b = 0,

кН;

M_B =0,    R₀ (b + c + e)  0,5q(c + e)²  M + P(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси z:

z =0; R₀ + R_B + F  q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8  103 = 30  30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров.

Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при x = 0 имеем: z₀ = 0; М₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно ₀. Из условия закрепления балки при x = b + c + e имеем, что z = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения ₀:

.

Отсюда E I ₀ = 20,84 кНм². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем z_D и _D:

кHм³.

кНм².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 210⁸ кН/м²):

кНм².

Тогда, окончательно,

_м.

рад.

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.