1.2 Основные понятия и исходные положения

1.2.1 Реальный объект и расчетная схема

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естест­вознания, исследование вопроса о прочности или жесткости ре­ального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции  его упрощенная схема, освобожденная от не­существенных в данной задаче особенностей (рис.1.1).

Рис. 1.1

В сопротивлении материалов геометрия реального объекта упрощается и приводится к форме бруса, пластины и оболочки.

Брус или стержень (рис. 1.2, а) представляет собой тело, попереч­ные размеры которого малы по сравнению с длиной. Линия, соеди­няющая центры тяжести площадей, последовательно расположенных сечений бруса, называется осью бруса. Брус с прямой осью называется прямым брусом, а с кривой осью - кривым брусом. Кривой брус, у которого радиус кривизны оси велик по отношению к высоте сечения, называется брусом малой кривизны. Если этот радиус соизмерим с высотой, то брус называется брусом большой кривизны.

Элемент конструкции, образованный двумя поверхностями, отстоящими друг от друга на малое расстояние, называется оболочкой (рис. 1.2, в). Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластиной (рис. 1.2, б).

Рис. 1.2

Примерами оболочек служит сосуд для жидкости, паровой котел, газовый баллон и др.

1.2.2 Основные гипотезы и допущения сопротивления материалов

Сложная форма, присущая реальному телу, и разнообразие физико-ме-ханических свойств материала, составляют серьезные пре­пятствия при изучении напряженного состояния тела теоретическим путем. Ввиду этого для каждого частного случая в зависимости от требуемой точности теорию расчета приходится строить на ряде допущений, или гипотез, идеализирующих реальное тело.

В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых суще­ственно превышают не только межатомные расстояния, но и раз­меры кристаллических зерен.

С понятием однородности тесно связано понятие сплошнос­ти среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а, значит, в теле конструкции нет пустот.

Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геомет­рические размеры. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструк­ций абсолютно упругий.

Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. пред­полагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристал­лов, принимается, что материал изотропен.

Основные гипотезы, принимаемые при построении теории сопротивления материалов, включают:

1. Гипотезу плоских сечений. Если в теле до деформации мысленно провести плоское сечение, то после деформации это сечение может не остаться плоским. Существует много практически важных случаев, где сечения после деформации остаются плоскими или мало отклоняются от плоскости. В курсе сопротивления материалов, за исключением поперечного изгиба, приходится делать предположение о том, что плоские сечения, проведенные в теле до деформации, ос­таются плоскими и после деформации (гипотеза Я. Бернулли).

2. Гипотезу о малости перемещений. Перемещения считаем малыми, если тело по отношению к своим общим размерам под нагруз­ками незначительно изменяет геометрическую форму. Это допуще­ние неприменимо к гибким телам, которые сильно деформируются под нагрузками.

3. Принцип независимости действия сил. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке.

Под словами «результат воздействия» в зависимости от конкретной задачи следует понимать деформации, внутренние силы, возникающие в теле, и перемещения отдельных точек. Необходимо иметь в виду, что действие отдельных сил системы должно рассматриваться вместе с соответствующими им реакциями связей.

Принцип независимости сил, используемый в теоретической механике для абсолютно твердых тел, к деформируемым телам применим только при следующих условиях:

- перемещения точек приложения сил малы по сравнению с размерами тела;

- перемещения, являющиеся результатом деформации тела, линейно зависят от действующих сил. Такие тела (системы) называют линейно деформируемыми или подчиняющимися закону Гука.

В обычных конструкциях оба эти условия выполняются и поэтому принцип независимости действия сил при расчетах на прочность и жесткость широко применяется.

4. Принцип Сен-Венана. В точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина внутренних сил весьма мало зависит от конкретного способа приложения этих нагрузок. Этот принцип во многих случаях позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что позволяет упростить расчет.

1.2.3 Внешние силы (нагрузки)

Внешними силами называются силы взаимодействия между рассмат­риваемым элементом конструкции и связанными с ним телами. Внешние силы еще принято называть нагрузками.

Внешние силы (нагрузки), действующие на тело, по способу приложения разделяются на сосредоточенные, распределен­ные и объемные.

Сосредоточенными называются такие нагрузки, которые прикла­дываются к небольшой площадке тела (размерность Н). Нагрузки, приложенные ко всей или какой-либо части поверхности тела, относятся к распреде­ленным (размерность Н/м²). Эти нагрузки бывают равномерно распределенные, распре­деленные по треугольнику - треугольные и др. (рис. 1.3).

q

Рис. 1.3 Рис. 1.4

К первым относится, например, давление пара в котле, а ко вторым - давление воды на плотину. Нагрузки, распределенные по всему объему тела, назы­ваются объемными (размерность Н/м³). Примером такой нагрузки является собственный вес тела, силы инерции, магнитные силы. Нагрузки, распределенные по линии (рис. 1.4), называются погонными распределенными нагрузками (размерность Н/м). По характеру действия нагрузки разделяются на статиче­ские и динамические.

Нагрузки, медленно возрастающие по времени от нуля до своего ко­нечного значения, называются статическими (при расчетах силами инерции в этих случаях) здесь пренебрегают. Условие статического нагружения

t_нараст  ,

где t_нараст - время нарастания нагрузки;

Т = - собственно период низше­го тона колебаний конструкции;

₀ - низшая частота.

Динамические нагрузки сопровождаются значительными уско­рениями точек деформируемого тела. При этом возникают силы инерции, которыми пренебречь нельзя. Динамические нагрузки делят на мгновенно приложенные, собственно ударные и повторно-переменные.

Нагрузка считается мгновенно приложенной, или быст­ро приложенной, если она возрастает в течение короткого проме­жутка времени:

t_нараст  , или t_нараст  ,

где - скорость распространения упругой волны в материале.

Силами инерции вдоль оси х пре­небрегают, а в поперечном направле­нии (вдоль оси у) — учитывают.

При собственно ударном нагружении t_нараст  .

Здесь силы инерции учитываются по всем направлениям координатных линий.

В практике динамические нагрузки встречаются либо в чистом виде, либо в комбинации со статическими. Например, действие колеса локомотива на рельс выражается статической нагрузкой от собствен­ного веса, сил инерции и ударной нагрузкой при прохождении рельсовых стыков.

1.3 Метод сечений

1.3.1 Внутренние силы

Между соседними частицами тела (кристаллами, молекулами, атома­ми) всегда действуют силы сцепления - внутренние силы. Эти си­лы стремятся сохранить тело как единое целое. Они препятствуют всякой попытке деформировать тело. Величина этих сил при нагружении тела и в ненагруженном его состоянии будет различной.

В сопротивлении материалов не рассматривают начальные внут­ренние силы в теле (в ненагруженном состоянии), а изучают дополни­тельные внутренние силы, которые появляются в результате нагружения тела. Внутренние силы часто называются усилиями.

Для решения задачи о прочности надо уметь определять внутренние силы. Для этого в сопротивлении материалов широко применяют метод сечений.

Сущность метода заключается в следующем. Пусть некоторое тело находится в равновесии под действием системы внешних сил (рис.1.5, а).

Рассечем (мысленно) тело на две части плоскостью, перпендикулярной продольной оси тела (поперечным сечением).

Отбросим правую или левую часть тела. Чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, по плоскости сечения должны действовать внутренние силы.

Заменим действие одной части на другую внутренними силами (рис. 1.5, б). Эти внутренние силы по характеру приложения - распределенные, в общем случае они не одинаковы по всему сечению. Внутренние силы могут быть приведены к их равнодействующим: главному вектору - R и главному моменту - М.

Введем ортогональную систему координат с началом в точке О, причем ось Х пусть совпадает с продольной осью тела, а оси Y и Z - с главными центральными осями инерции поперечного сечения (о них будет сказано ниже).

Разложим главный вектор R и момент М по осям (рис. 1.6). Получим шесть составляющих, которые называются внутренними силовыми факторами (В.С.Ф):

N - продольная (нормальная) сила, проекция вектора R на ось x;

Q_z, Q_y - поперечные силы, проекции вектора R на оси z и y соответствен-

но;

М_х = М_к - крутящий момент, составляющая момента М вокруг оси x;

M_z, M_y - изгибающие моменты, составляющие момента М вокруг осей z

и y соответственно.

F₁

F₂

F_n

F₃

М

а)

F₃

F_n

R

F₃

б)

Рис. 1.5

Рассмотрим правую часть.

М_z

z

F₃

F₃

N

О

x

Y

M_к

F_n

M_y

М_х

y

Рис.1.6

Уравновесим отсеченную часть. Так как отсеченная часть тела находится в равновесии, то для определения шести неизвестных В.С.Ф. составим шесть уравнений статического равновесия:

из которых поочередно определяются все В.С.Ф.:

N = - нормальная сила равна сумме проекций всех внешних сил, дейст-

вующих на отсеченную часть, на продольную ось X;

Q_y = , Q_z = - поперечные силы равны по величине суммам проек-

ций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть, на

оси У и Z соответственно;

M_к = - крутящий момент равен сумме внешних моментов, действующих

на отсеченную часть, относительно оси Х;

M_у = , M_z = - изгибающие моменты равны суммам внешних момен-

тов, действующих на отсеченную часть, относительно осей Y и Z

соответственно.

Для наглядного представления о характере работы конструкции строят графики изменения В.С.Ф. по длине бруса (вдоль оси Х). Такой график принято называть эпюрой (от французского слова ерuге-чертеж).

1.3.2 Понятие о напряжениях

Внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны от­брошенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Выделим в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали и около точки М малую площадку А (см. рис. 1.7, а).

а) б)

Рис. 1.7

Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через р. Среднее напряжение на площадке A будет

.

В пределе при A 0 получим напряжение в точке М

.

Вектор полных напряжений р_п зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориента­ции в пространстве площадки A, характеризуемой вектором . Сово­купность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных на­правлений вектора и определяет напряженное состояние в точке М.

В общем случае направление вектора полных напряжений р_п не совпадает с направлением вектора нормали . Проекция вектора р_п на на­правление нормали называется нормальным напряжением , а на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору , - касательным напряжением  (рис 1.7, б).

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что

.

Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей ОУ и ОZ (_xy, ._xz). Размерность напряжений – Н/м².

Если вокруг точки А мысленно вырезать параллелепипед, то по его граням будет действовать совокупность напряжений, показанных на рис.1.8. Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении тела связаны определенным образом с внутренними уси-лиями, действующими в этом сечении. Если рас-смотреть элементарную площадку dА поперечного сечения А бруса с действующими по этой площадке напряжениями ,_у, _z, получим, что на площадку dА действуют элементарные силы dА,

_уdА,_zdA. Тогда можно записать следующие инте-

Рис. 1.8 гральные зависимости:

N= ; ; ;

; ;

В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для напряжений. Нормальное напряжение  считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью п к площадке и отрицательным, если его на- правление обратно.

Касательные напряжения  считаются положительны-

Рис 1.9 ми, если вектор касательных напряжении следует поворачи-

вать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью и отрицательными - в противном случае (рис. 1.9).

Так как между напряжениями и внутренними усилиями существует интегральная связь, то правило знаков для внутренних силовых факторов обусловлено принятым правилом знаков для нормальных  и касательных  напряжений. Моменты приняты положительными, как и ранее, если они действуют против хода часовой стрелки.