Решение

1. Определение опорных реакций.

Отбрасываем шарнирные опоры А и В, заменяя их действие силами реакций R_A и R_B (рис. 6.4, б).

Балка находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил, следовательно, можно записать два уравнения статики:

.

Подставляя заданные числовые значения, определяем реакцию R_B:

кН;

.

кН.

Попутно отметим, что при отыскании опорных реакций правило знаков не играет существенной роли: составляя уравнение равновесия, можно считать положительным любое направление момента, но при этом противоположное направление следует считать отрицательным.

Для проверки правильности найденных реакций составим дополнительное уравнение статики, например, сумму проекций сил на ось z.

.

П олученное тождество подтверждает правильность найденных значений R_A и R_В .

М

г)

Рис. 6.4

2. Построение эпюры Q.

Балка имеет четыре расчетных участка (пронумерованы римскими цифрами).

I участок: 0  x  а (отсчет сечений слева).

Q(x) = R_A =20 кН = const.

II участок: а  x  а+b,

Q(x) = R_A  q₁(x  а) ;

при x = а Q = R_A ;

при x = а+b Q = R_A  q₁ b =20  202 =  20 кН.

На данном участке поперечная сила изменяется по линейному закону.

III участок: d  x  d+c (отсчет сечений справа).

Произвольное сечение находится на расстоянии x от правого конца балки. Согласно формуле (6.1) и рис. 6.2 получим:

Q(x) = R_B + q₂ d F =  60 + 404  120 =  20 кН = const.

IV участок: 0  x  d,

Q(x) = R_B + q₂ x ;

при x = 0 Q = R_B =  60 кН;

при x = d Q = R_B + q₂ d = 60 + 404 = 100 кН.

Поперечная сила меняется по линейному закону.

По полученным данным строим эпюру поперечных сил (рис. 6.4, в).

Обратим внимание на следующие особенности вида эпюры Q:

а) на тех участках балки, где нет распределенных нагрузок, поперечная сила постоянна, и эпюра имеет вид прямой, параллельной оси балки;

б) на участках с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q имеет вид наклонной прямой, так как поперечная сила меняется по линейному закону;

в) в точке приложения сосредоточенной силы F на эпюре Q происходит скачкообразное изменение ординаты на величину приложенной силы. Направление скачка соответствует направлению силы (снизу вверх), если перемещаться по эпюре слева направо;

г) направление отсчета сечений на любом участке можно задавать произвольно, от любого конца балки  правого или левого. На виде эпю­ры это не отразится. Однако для упрощения вычислений рекомендуется рассматривать ту отсеченную часть балки, к которой приложена более простая нагрузка.

3. Построение эпюры М.

I участок: 0  x  а ,

М(x) =  М₁ + R_A x ;

при x = 0 М =  М₁ =  20 кНм;

при x = а М =  М₁ + R_A а =  20 + 203 = 40 кНм.

Изгибающий момент меняется по линейному закону, эпюра М на данном участке представляет собой прямую наклонную линию.

II участок: а  x  а+b,

;

при x = а М =  М₁ + R_A а =  20 + 203 = 40 кНм;

при x = а+b М =  М₁ + R_A(а+b)  q₁ b²/2=  20 + 205  202²/2 = 40 кНм.

Изгибающий момент меняется по квадратичному закону, эпюра представ­ляет собой параболу. Точка, в которой поперечная сила Q обраща­ет­ся в нуль, является точкой экстремума изгибающего момента М, поэтому необходимо найти ее координату x₀ и вычислить значение М_max. Приравнивая нулю выражение Q(x) на этом участке, получим:

Q(x) = R_A  q₁(x  а) = 0,

откуда x₀ = R_A/ q₁ + а = 1 + 3 = 4 м,

M_max = M(x₀) =  M₁ + R_A x₀  q₁(x₀  а)²/2 =  20 + 204  20(4  3)²/2 = 50 кНм.

III участок: d  x  d+c,

;

при x = d М =  М₃ + R_B d  q₂ d²/2 =  20 + 604  404²/2 =  100 кНм;

при x = d+c М =  М₃ + R_B (d + c)  q₂ d(d/2+ c)+F c =  20 + 605 

 404(2 + 1) + 1201 =  80 кНм.

Изгибающий момент меняется по линейному закону, эпюра имеет вид прямой наклонной линии.

IV участок: 0  x  d,

;

при x = 0 М =  М₃ =  20 кНм;

при x = d М =  М₃ + R_B d  q₂ d²/2 =  20 + 604  404²/2 =  100 кНм.

Найдем координату точки, в которой Q(x) = 0 :

Q(x) =  R_B + q₂ x = 0, откуда = R_B / q₂ = 60/40 = 1,5 м.

M( ) =  M₃ + R_B  q₂ ²/2 =  20 + 601,5  401,5²/2 = 25 кНм.

По трем полученным значениям строим эпюру М. Она имеет вид параболы с вершиной в точке .

Анализируя эпюру М (см. рис. 6.4, г), определяем опасное сечение балки: М_max = 100 кНм в точке приложения сосредоточенной силы F.

Построение эпюр поперечной силы Q_z и изгибающего момента M_y является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Q_z и M_y определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения .

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила . В данном случае опасным является место закрепления балки.

Контроль правильности построения эпюр можно осуществить по следующим правилам:

а) на тех участках, где нет распределенных нагрузок (q = 0), на эпюре Q - прямая, параллельная оси абсцисс, т. е. Q = const. На эпюре М на таких участках также прямая, но имеющая наклон под углом  к оси эпюры, причем

;

б) в точках приложения сосредоточенных сил на эпюре М имеем изломы, направленные навстречу силам;

в) в месте приложения пары сил на эпюре Q никаких изменений не наблюдается, на эпюре М имеется скачок на величину момента данной пары;

г) на участках с равномерно распределенной нагрузкой (q = const) эпюра Q представляет собой пря­мую, наклоненную к оси балки под углом  ( ). Эпюра М  квадратная парабола, выпуклость которой направлена по нагрузке;

д) при движении по эпюре слева направо на тех участках, где поперечная сила Q  0, изгибающий момент М возрастает. На участках, где Q  0, М убывает. В той точке, где поперечная сила Q = 0, М имеет экстремум (минимум, если нагрузка q направлена вниз, или максимум, если наоборот).

е)  в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

ж) чем больше по модулю величина Q _, тем круче изменяется эпюра М.

 з) на свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.

Эти правила справедливы, если проверять эпюры, начиная с левого конца балки к правому.