
- •Введение
- •1.2 Основные понятия и исходные положения
- •1.4 Понятия о перемещениях и деформациях
- •2.1 Статические моменты сечений
- •2.2 Моменты инерции сечений
- •2.2.2 Изменение моментов инерции сечения при повороте осей
- •2.3 Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •2.4 Моменты инерции простых сечений
- •2.4.1 Прямоугольник
- •2.4.2 Треугольник
- •2.4.3 Круг
- •2.4.4 Кольцо
- •Вопросы для самопроверки
- •Вопросы для самопроверки
- •Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.
- •4.2.1 Линейное напряженное состояние
- •4.2.2 Плоское напряженное состояние
- •Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния:
- •4.2.3 Объемное напряженное состояние
- •4.4 Теории прочности
- •Б) вторая теория прочности (теория наибольших деформаций).
- •В) третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений).
- •Вопросы для самопроверки
- •1. Построение эпюр крутящих моментов.
- •2. Напряжения в поперечном сечении.
- •3. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •5.2 Напряжения в поперечном сечении
- •5.3 Условия прочности и жесткости при кручении вала
- •5.4 Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Вопросы для самопроверки
- •Решение
- •6.2 Напряжение при чистом изгибе
- •6.3 Напряжения при поперечном изгибе
- •6.4 Перемещения при плоском изгибе
- •Вопросы для самопроверки
- •Перемещения в балках при чистом изгибе
- •Вопросы для самопроверки
- •8.1 Косой изгиб
- •8.2 Внецентренное растяжение (сжатие)
- •8.3 Кручение с изгибом
- •Вопросы для самопроверки
- •Определение критической силы
- •1. Динамическое действие нагрузок.
- •Вопросы для самопроверки
4.2.3 Объемное напряженное состояние
Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.4.5).
Рассмотрим вопрос определения касательных напряжений в площадках, проходящих через одну из координатных осей x, y или z (рис. 4.1).
Используя принцип независимости действия сил, и результаты решения прямой задачи для линейного и плоского напряженных состояний, получим:
;
;
.
При a = 450, касательные напряжения достигают наибольших значений:
;
;
,
c учетом того, что 1 2 3, получим:
.
Таким образом, площадка с наибольшим касательным напряжением наклонена под углом α=450 к главным площадкам с напряжениями 1, 3.
Также можно доказать, что
.
4.3 Обобщенный закон Гука
Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного, и как частый случай, плоского напряженных состояний.
Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.
Пусть
задано произвольное объемное напряженное
состояние с главными напряжениями 1,
2
и 3.
Представим его в виде суммы трех линейных
напряженных состояний. Учитывая, что
при линейном напряженном состоянии
и
запишем выражение для линейной
относительной деформации в направлении
:
.
Деформации в направлении действия главных напряжений равны
,
,
.
Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок. Деформации 1, 2, 3 в направлении главных напряжений называются главными деформациями.
Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны для любых (не главных) площадок, но т.к. при этом будут действовать, кроме нормальных и касательные напряжения (рис. 4.10), то необходимо добавить три соотношения для вычисления угловых деформаций. Таким образом, для произвольных площадок обобщенный закон Гука содержит шесть соотношений, связывающих деформации и напряжения:
;
;
;
;
;
.
Как
известно, при деформации происходит
изменение формы и объема тела. Рассмотрим
относительное изменение объема тела
при деформировании. Обратимся к рис.
4.1. Объем элементарного прямоугольного
параллелепипеда до деформации
.
При деформировании длина каждого ребра
может измениться на некоторую величину
D
и объем того же параллелепипеда после
деформирования будет
.
Тогда относительное изменение объема может быть вычислено следующим образом:
=
.
Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с , получим
.
Подставляя из обобщенного закона Гука, получим
.
Учитывая, что запишем выражение для q в виде
.
Из формулы видно, что при положительных направлениях главных напряжений относительное изменение объема может быть положительной величиной, если только коэффициент Пуассона будет ν < 0,5. Таким образом, получается, что для всех существующих в природе материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 0,5 и для большинства конструкционных материалов он равен ν = 0,2…0,3.
Также можно отметить, что если коэффициент Пуассона равен n = 0,5, то относительное изменение объема равно нулю. Резина имеет n ≈ 0,5 , следовательно, при приложении нагрузки её объём практически не меняется, она ведет себя как несжимаемая жидкость. Это свойство резины часто используется в экспериментальной практике.
Определим также относительное изменение объема при чистом сдвиге.
Так
как при чистом сдвиге
,
,
,
то
.
Таким образом, относительное изменение объема при чистом сдвиге равно нулю.
Рассмотрим изменение удельной потенциальной энергии деформации в теле.
Удельной потенциальной энергией деформации u называется величина потенциальной энергии деформации U, накопленной в единице объема тела V. Для линейного напряженного состояния:
.
Используя принцип независимости действия сил, полученный результат можно обобщить на случай объемного напряженного состояния:
.
В случае площадок общего положения (не главных площадок) выражение для удельной потенциальной энергии приобретает вид:
.
Предыдущее выражение можно преобразовать с помощью формул обобщенного закона Гука к виду:
.
(4.5)
Рассмотрим напряженное состояние чистого сдвига. Запишем выражение удельной потенциальной энергии деформации по площадкам чистого сдвига:
.
С другой стороны чистый сдвиг - это двухосное напряженное состояние с главными напряжениями ; , поэтому можно записать u как
.
Очевидно, величина удельной потенциальной энергии деформации u не должна зависеть от того, по каким площадкам она записана, поэтому
,
откуда, как упоминалось ранее
.
Таким образом, постоянные упругости материалов, характеризующие жесткость при растяжении и сдвиге и поперечную деформацию, являются зависимыми. Поэтому достаточно определить лабораторным путем при растяжении две характеристики упругости Е и n, а третья G может быть вычислена аналитически.