2. Систематический код

   1. Производящая матрица

Позволяет получить все комбинации кода путем суммирования по модулю 2.

A=[I_k*k] [D_k*(n-k)] – единичная матрица 5х5 + дополнительная матрица 5х4.

(n-k) разрядные кодовые комбинации, в которых количество единиц не менее чем dmin-1=3-1=2, а сумма любых двух строк по модулю 2 должна содержать «единицу» не менее чем dmin-2=3-2=1. Желательно при этом, чтобы единицы чередовались с нулями, чтобы серии единиц были короткие. 2^к – число кодовых комбинации.

Структура производящей матрицы позволяет строить систематический код, у которого первые k-позиций будут информационными, а оставшиеся n-k проверочные, при этом общее число разрешенных кодовых комбинаций равно 2^к и все различные кодовые комбинации могут быть получены в результате линейной операции суммы по |2| любых двух, трех строк производящей матрицы.

0000 0100 1000 1100

0001 0101 1001 1101

0010 0110 1010 1110

0011 0111 1011 1111

Систематический код невозможно реализовать, если нельзя построить матрицу D и если величина а>k, в нашем примере а=1, k=5, а<k, следовательно, код возможно реализовать.

D_5*4 = 1| 0011

2| 0101

3| 0110

4| 1001

5| 1010

Проверяем, сумма по модулю двух любых строк должна содержать более одной «единицы»:

D(D1,D2)=0110

D(D1,D3)=0101

D(D1,D4)=1010

D(D1,D5)=1001

D(D2,D3)=0011

D(D2,D4)=1100

D(D2,D5)=1111

D(D3,D4)=1111

D(D3,D5)=1100

D(D4,D5)=0011

Производящая матрица будет состоять из единичной матрицы размерностью 5х5 и дополнительной матрицы размерностью 5х4:

A=[I_k*k] [D_k*(n-k)]=[I_5*5] [D_5*4]

Построим производящую матрицу А:

A=10000 0011

01000 0101

00100 0110

00010 1001

00001 1010

2. Проверочная матрица

Проверочная матрица состоит из транспонированной дополнительной матрицы, которую использовали для построения производящей матрицы А и единичной матрицы размерностью n-k.

Таким образом, проверочная матрица позволяет построить алгоритм кодирования и декодирования систематического кода исходя из того, что единица в каждой строке соответствует тем разрядам, сумма которых по модулю 2 должна быть равна нулю. Из проверочных уравнений выделяют проверочные разряды, их количество – (n-k). Проверочные разряды встречаются в каждом из проверочных уравнений только по одному разу.

H=[D^T] [I_(n-k)*(n-k)] =[D^T] [I_4*4]

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

H= 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1

Составим проверочные уравнения. Количество уравнений 4, т.к. в проверочной матрице 4 строки:

r1=a4 a5 a6

r2=a2 a3 a7

r3=a1 a3 a5 a8

r4=a1 a2 a4 a9

Таким образом, получаем проверочные разряды, которые встречаются в проверочных уравнениях только один раз:

а6=a4 a5

a7=a2 a3

a8=a1 a3 a5

a9=a1 a2 a4