Постановка задачи

Построить помехоустойчивый систематический код для исправления ошибок кратности a.

Задана разрядность кодовой комбинации N. Определить количество информационных разрядов k и количество проверочных разрядов r. Построить производящую и проверочную матрицу. Получить не менее M разрешенных кодовых комбинаций. Построить уравнения проверки. Определить номера проверочных и информационных разрядов. Для каждой из M разрешенных кодовых комбинаций построить тесты: 1) количество ошибок a; 2) количество ошибок a-1; 3) количество ошибок a+1; 4) количество ошибок 0. Показать в тестах способ обнаружения и исправления ошибки.

Таблица 2.1 – Значения для выполнения работы

Вариант	Тема	N	M	a
8	3	9	5	Max

1. Практическая часть

   1. Нахождение a=max

Предположим, что а=Мах=2. Проверим достоверность этого утверждения с помощью граничной оценки Хэмминга:

r= log₂(ΣC_n^t) = log₂(C₉⁰ + C₉¹ + C₉²)= log₂46=5,52 ≈6

r≥6, n-r=k, k=9-6=3

k≥a =>систематический код возможно реализовать.

Теперь предположим, что а=Мах=3. Проверим достоверность и этого утверждения с помощью граничной оценки Хэмминга:

r= log₂(ΣC_n^t) = log₂(C₉⁰ + C₉¹ + C₉² +C₉³)= log₂130≈7

r≥7, n-r=k, k=9-7=2

k<a => систематический код не возможно реализовать.

И, следовательно, максимальным допустимым значением а является 2, т.е.

кратность ошибки a=2:

d_min≥2a+1, d_min≥5

r= log₂(ΣC_n^t) = log₂(C₁₀⁰ + C₁₀¹ + C₁₀²)= log₂46≈6

r≥6, n-r=k, k=9-6=3

(n,k)=(9,3)

k≥a =>систематический код возможно реализовать.

Избыточность кода: W=r/n=(n-k)/n=(9-3)/9=0.67

Скорость кодирования: V=k/n=3/9=0.33 (бит/с)

Теперь построим матрицу D: D_{k (n-k)} = D_3*6

d_min-1=5-1=4 - единиц в строке

Значит, из 2⁶ возможных вариантов, нам подходят следующие:

000000	010000	100000	110000
000001	010001	100001	110001
000010	010010	100010	110010
000011	010011	100011	110011
000100	010100	100100	110100
000101	010101	100101	110101
000110	010110	100110	110110
000111	010111	100111	110111
001001	011000	101000	111000
001001	011001	101001	111001
001010	011010	101010	111010
001011	011011	101011	111011
001100	011100	101100	111100
001101	011101	101101	111101
001110	011110	101110	111110
001111	011111	101111	111111

D_3*6=1| 001111

2| 101101

3| 111001

Проверяем, сколько единиц содержит сумма данных комбинаций по модулю два:

D(D1,D2)=100010

D(D1,D3)=110110

D(D2,D3)=010100

Сумма, по модулю, двух любых строк полученной матрицы должна содержать 3 или более единицы. Но среди подходящих чисел, в которых не менее 4 единиц (выделены выше), невозможно подобрать три таких двоичных комбинации, чтобы они удовлетворяли данному условию при их попарном сложении.

Отсюда, приходим к выводу, что а=Мах=1. Далее рассчитаем значения необходимые для построения матрицы А.

Для исправления ошибки кратности а, необходимо найти минимальное кодовое расстояние dmin:

.

Применив граничную оценку Хэмминга, получим количество проверочных разрядов:

- биноминальный коэффициент

Систематический код – это групповой n-значный код в котором k символов является информационными, а n-k являются проверочными, избыточными.

- проверочные.

Количество информационных разрядов:

- информационные.

Избыточность кода: .

Скорость кодирования: .