2 Вариант (тяжев) // то, что нам как бэ давали, но, по мне, днище

Для применения этого критерия вначале составляется квадратная матрица m x m Гурвица размером вида

(5.14)

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем углу запишем коэффициент аm-1 , по главной диагонали располагаем коэффициенты с убыванием индекса до нуля. Над элементами главной диагонали записываем коэффициенты с убыванием индексов, а под ними - коэффициенты с возрастанием индексов, как это сделано в (5.14)

Для оценки устойчивости системы надо вычислить определители Гурвица, которые получаются из матрицы Гурвица отчеркиванием равного числа строк и столбцов от верхнего угла матрицы. Например

// ,

и т.д. до m , который описывается (5.14).

Критерий Гурвица гласит: если при все определители , то система устойчива. Т.к. , то при а0 > 0 достаточно проверить только знаки определителей , при

Из условия можно определить параметры системы, при которых она находится на границе устойчивости.

7) Критерий устойчивости Найквиста

1 Вариант //длинно, муторно, но вдруг кто-то решит окунуться в тау с головой

Этот критерий устойчивости, разработанный в 1932г. американским ученым Найквистом, позволяет на основе анализа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы:

Где для реальных систем всегда

Подставляя s = jw , получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы

П ри изменении частоты ω от -∞ до + ∞ вектор W( jω), изменяясь по величине и фазе, опишет своим концом в комплексной плоскости U, jV некоторую кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, рис.2.8. Эта кривая симметрична относительно вещественной оси и её вычерчивают обычно для w ³ 0 . В области отрицательных частот получается зеркальное отображение относительно вещественной оси. Чтобы рассматривать замкнутую систему, введем вектор:

Нетрудно видеть, что числитель этой дроби представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель – характеристический полином разомкнутой системы.

Так как в САР степень полинома Rsне выше степени Qs, то степени числителя и знаменателя дроби (2.29) будут одинаковы и равны n.

Тогда

характеристический полином замкнутой системы,

характеристический полином разомкнутой системы.

Подставляя в (2.29) s jw , будем иметь

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы Ds0 имеет m правых корней и n-m левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы Q(s) = 0 имеет правых и n-1 левых корней. При изменении частоты w от -до изменение угла поворота вектора ϕjw) на основе принципа аргумента будет

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми, т.е. m 0 . Тогда суммарный поворот вектора ϕjw)устойчивой системы вокруг начала координат должен равняться

где – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Обычно рассматривают только положительные частоты w 0 , а в этом случае угол поворота вектора ϕjw) будет вдвое меньше, т.е.

В осях амплитудно-фазовой характеристики начало координат вектора 1Wjwсоответствует точке 1, j0на рис.2.9. Так

как Wjwсимметрична относительно вещественной оси, вычерчивают только ту часть, которая соответствует положительным w . Для этой части угол поворота вектора будет вдвое меньше, т.е. p.

На основании сказанного, критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты w от 0 до амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы Wjwохватывала точку 1, j0в положительном направлении (против часовой стрелки) /2раз, где – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы Qjw0 .