3.6.2. История вопроса (по работам [12, 53, 133, 134])

Предположение о простой ньютоновской жидкости, на котором строится основная часть гидродинамики, является очень давней и очень устоявшейся традицией. Еще Ньютон анализировал вязкое сопротивление течению; отсюда "ньютоновская" вязкость = V; он получил также ряд гидродинамических формул и исследовал форму тел, дающих минимальное сопротивление [1, 17]. В частности, под влиянием авторитета Ньютона допущение о постоянной вязкости часто представлялось последующим исследователям, видимо, почти столь же строгим, как закон тяготения, хотя в действительности для сравнения подходит скорее неточный закон трения.

Гидродинамика долгое время занималась в основном задачами, которые строго решались при условии постоянной вязкости = const или даже нулевой вязкости, то есть для случая идеальной жидкости; " во времена наибольшего расцвета гидродинамики, то есть примерно до 1900 г., основные усилия были направлены на решение красивых математических задач в рамках именно этого приближения" [12]. Было накоплено много таких решений, составивших основное богатство гидродинамики, например, решения Стокса для обтекания шара и цилиндра вязкой жидкостью, задача о всплывающем пузырьке, о возникновении подъёмной силы при обтекании вращающегося цилиндра или крыла. Разрабатывался мощный математический аппарат.

Переход к более практическим задачам потребовал, однако, анализа турбулентности. Расчёты сопротивления турбулентных потоков, скорости процессов переноса в них вышли на первый план в связи с практическими задачами движения подводных и надводных аппаратов, реакторов с интенсивными потоками, в связи с авиацией и др. На этой стадии проблеме турбулентности посвящаются многие работы выдающихся физиков и математиков, выполненные на очень высоком математическом уровне.

В прошлом веке, во времена Рейнольдса, вопрос о турбулизации был поставлен как вопрос об устойчивости стационарного течения. Для любого течения можно получить стационарное (или ламинарное) решение Vo(r,t).

Далее выясняется: при каких условиях малое возмущение, наложенное на стационарное решение, будет не затухать, но самопроизвольно нарастать со временем ?

При малых числах Рейнольдса реальные течения соответствуют стационарным решениям теории Vo; скорость движения в каждой точке постоянна во времени. При больших Re такое течение становится неустойчивым; возбуждаются колебания скорости; появляются объёмы жидкости различного масштаба, движущиеся со своими скоростями, отличными от средней скорости потока. Их называют турбулентными пульсациями. Наступает пространственно - временной хаос, поток турбулизуется. Практически важные большие потоки обычно турбулентные, и почти вся энергия их расходуется именно на возбуждение турбулентных пульсаций. Так, для движения большого корабля необходима мощность порядка 10⁷ ватт, тогда как при ламинарном стоксовском обтекании его (или при обтекании эквивалентного шара) достаточна была бы мощность порядка 10¹ ватт, на 6 порядков величины меньше.

При анализе устойчивости стационарного (ламинарного) течения обычно берётся стационарное распределение скоростей Vo и на него накладывается малое возмущение, например, синусоидальное, V1(r,t)=A*sin(t+kr), и выясняется, при каких условиях это возмущение будет не затухать, но возрастать со временем ?

Решение этой основной исходной задачи дало бы ответ на главные вопросы: какие характеристики жидкости и потока ответственны за возбуждение колебаний скорости и турбулизацию ? Каков механизм процесса ? и др.

Основной и очень интересный для нас факт состоит в том, что такая задача легко и сразу решается, если принять во внимание твердоподобное сопротивление (см. ниже); однако при современном подходе такой вариант остается психологически неприемлемым (или не замечается), а обсуждаемую основную задачу обычно стремятся решить при традиционном допущении о простой ньютоновской жидкости [133, 134], что приводит к большим сложностям. Чтобы приблизиться к решению, часто исследователи идут по пути усложнения математики. Часто исследование становится "крайне сложным " [53], а получаемые уравнения - труднообозримыми. В этом смысле физические причины турбулизации остаются невыясненными, и "последовательная теория турбулентности принадлежит ещё будущему" [133].

В динамических моделях получают (обычно с помощью компьютера) пульсации и вихри, близкие к реальным, но для этого приходится использовать системы дифференциальных уравнений, довольно далёкие от реальных гидродинамических уравнений [133]. В других случаях система, эволюционирующая в соответствии с обычными гидродинамическим уравнением Навье-Стокса, возмущается соответствующими внешними силами.

Рассмотрено, например,течение жидкости с отрицательной вязкостью (без анализа возможных физических причин появления отрицательной вязкости у реального вещества). Гидродинамические структуры сближаются также с самоорганизующимися структурами сильно неравновесных систем или систем нелинейной динамики, или со структурами, полученными в синергетике, например, на основе формальной кинетики типа "хищники - жертвы" [133].

Предлагаются, получают определенное распространение, а затем сменяются другими математические модели турбулизации. Так, к настоящему времени почти общепризнанной стала неадекватность модели Ландау. Однако возможные будущие успехи теории представляются обычно именно на этом пути, подобно тому, как будущие успехи молекулярной теории затвердевания представлюется обычно в виде все более математически совершенных определений парных потенциалов методами квантовой теории связи и все более точных расчетов кинетических коэффициентов из этих потенциалов.

Здесь не ставится цель дать какой-то обзор предлагавшихся математических моделей турбулентности; приведем лишь авторитетные итоговые оценки их результатов. Так, согласно [53], стремление решить задачу математическими средствами, не затрагивая физических основ, приводит к "чисто математической" теории, которая "пока мало что даёт". Распространено также мнение, что все результаты, полученные в этом вопросе за последнее столетие (со времен Рейнольдса), не столь существенны. Так, по выражению Р. Фейнмана, этот вопрос "свыше ста лет назад отставлен наукой в сторону", так как не удается "математически безупречно проанализировать его" [12]. В то же время сохраняется убеждение, что более совершенная математика дала бы всё, что нужно; описала бы основные особенности течения в предположении  = const, без каких-либо добавок или поправок на твёрдоподобные свойства, что "... в одном простом наборе уравнений ... скрывается огромное разнообразие поведений. Все это решения одного и того же уравнения при различных значениях Re. У нас нет причин думать, что в этом уравнении мы потеряли какие-то слагаемые. Единственная трудность заключается в том, что нам сегодня не хватает математических знаний, чтобы проанализировать уравнение, за исключением очень малых чисел Рейнольдса ..." [12].

Известно также следующее противоречие теории турбулизации с опытом. Так как Re=VL/, то приближение к идеальной жидкости, то есть к нулевой вязкости, соответствует переходу к очень большим значениям Re. Между тем теория идеальной жидкости (то есть при нулевой вязкости) дает простейшие решения; в частности, здесь должно выполняться сохранение ротора, не должны образовываться вихри. В то же время эксперимент дает при наибольших Re сложнейшие течения с максимальной хаотичностью и наибольшим вихреобразованием; такие течения "меньше всего похожи на простейшие решения для идеальной жидкости" [12].

Разрабатывается и гидродинамика жидкостей с переменной вязкостью, с пределом прочности ( жидкость Бингама, суспензии, студни, коллоиды и др.). Но рассматриваются в основном ламинарные течения таких жидкостей. Обычно считается также, что подобные неньютоновские свойства присущи лишь некоторым экзотическим жидкостям; это исключения из общего правила. Основные объекты гидродинамики, например, вода, считаются обычно простыми ньютоновскими жидкостями.

При решении практических задач, при описании реальных турбулентных потоков, приходится обычно не рассчитывать на современную "чисто математическую" теорию турбулентности, которая "пока мало что дает", но анализировать эмпирические и полуэмпирические закономерности, прибегать к соображениям размерностей, теории подобия, вести анализ безразмерных критериев и др.

Накоплен обширный экспериментальный материал по турбулентным потокам. Исследованы спектры пульсаций, возмущений, а также автокорреляционные функции скоростей, статистика вихрей и др. Интересные результаты даёт изучение гидродинамических структур - регулярных образований в потоке. В частности, экспериментаторы различают подковообразные, шпилькообразные, спиральные вихри; линейные, плоские, объёмные решётки вихрей и других структур, в том числе с дефектами, дислокациями, модулирующими волнами; структуры Тейлора, Куэтте и др. Найдены интересные закономерности эволюции таких структур и усложнения их с ростом Re ( удвоение периода колебаний, синхронизация частот, бифуркации и т.д.). Развитая турбулентность представляется как пространственно - временной хаос взаимодействующих структур, обычно вихрей или пульсаций [133], с сохранением в спектре возмущений соответствующих выделенных частот.

Однако этот богатый экспериментальный материал по нестационарным течениям почти не поддается анализу в рамках существующей "математизированной" теории турбулентности, подобно тому, как обширный материал по механическим свойствам и прочности металлов практически не поддается обобщению в рамках традиционной молекулярной теории. Было бы очень интересно проанализировать этот богатый материал с учётом новых данных о твёрдоподобном сопротивлении течению.