1.3.2 Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод в отличие от графического универсален. С его помощью можно решать задали линейного программирования с неограниченным числом переменных. Применение симплекс-метода осуществляется в два этапа:

- нахождение допустимого базового решения;

- последовательное улучшение полученного на предыдущем этапе решения до достижения оптимального.

Основные операции алгоритма симплекс-метода удобно проиллюстрировать с использованием конкретного примера. Воспользуемся задачей о производстве видеокарт, которую мы уже решили графическим методом. Для корректной постановки математической задачи необходимо все неравенства перевести в уравнения путём добавления новых переменных:

Целевая функция остаётся прежней: .

Для решения задачи составим симплекс-таблицу табл. 1.2. Значения аргументов переписываются из системы уравнений и целевой функции. Правая часть определяется как правая часть системы уравнений. Столбец «базис» показывает текущее значение целевой функции, т.е. при , и значение целевой функции W равно нулю.

Каким образом определить, какие аргументы окажутся в столбце «базис»? Для этого, нужно обратить внимание в каких столбцах содержаться одна единица и нули. В табл. 1.2 это столбцы , и . В этих столбцах строка с единицей и показывает базис. Например, в столбце поле с единицей находится во второй строке, соответственной базис по второй строке будет .

Таблица 1.2

№						Правая часть	Базис
1	3	6	1	0	0	31
2	6	8	0	1	0	47
3	10	7	0	0	1	72
	50	60	0	0	0	0

Табл. 1.2 является опорной базовой таблицей и ещё не содержит оптимальное значение целевой функции. Для приближения к оптимальному значению функции , данная таблица должна быть пересчитана и возможно не на один раз.

После каждого пересчёта значение должно возрастать. Правая часть никогда не должна содержать отрицательных значений. Пересчёт нужно вести пока в последней строке симплекс-таблице не исчезнут положительные числа.

Для пересчёта симплекс-таблицы нужно принять одну из ячеек в качестве разрешающего элемента, по которому будет вестись пересчёт всей симплекс-таблицы. Что бы выбрать разрешающий элемент нужно:

• определить столбец, содержащий максимальное значение (столбцы содержащие только отрицательные и нулевые ячейки в расчёт не берутся);

• определить строку, в выбранном столбце, в которой содержится число больше нуля (в случае если таких строк несколько выбирают ту, в которой соотношение значения «правой части» ячейки и её самой минимально).

Таким образом, на пересечении выбранного столбца и строки получаем опорную ячейку относительно, которой и пойдёт дальнейший пересчёт. В табл. 1.2 эта ячейка отмечена рамкой. При пересчёте: в опорном столбце проставляются нули по всем строкам. Значения ячеек опорной строки делятся на значение ячейки, содержащей разрешающий элемент. В ячейке с определяющим элементом ставится единица. Остальные ячейки пересчитываются по следующей схеме, представленной на рис. 1.5, где

П – пересчитываемая ячейка;

О – опорная ячейка, с разрешающим элементом;

А и Б – смежные ячейки.

Формула пересчёта: .

		А		П
		O		В

Рисунок 1.5 – Схема перерасчёта симплекс-таблицы

В табл. 1.3 представлена первая и последующие итерации (пересчёт) симплекс-таблицы.

Таблица 1.3

№						Правая часть	Базис
1	1/2	1	1/6	0	0	31/6
2	2	0	-4/3	1	0	17/3
3	13/2	0	-7/6	0	1	215/6
	20	0	-10	0	0	-310
1	0	1	1/2	-1/4	0	15/4
2	1	0	-2/3	1/2	0	17/6
3	0	0	19/6	-13/4	1	209/12
	0	0	10/3	-10	0	-1100/3
1	0	1	0	5/19	-3/19	1
2	1	0	0	-7/38	4/19	13/2
3	0	0	1	-39/38	6/19	11/2
	0	0	0	-125/19	-20/19	-385

Как видно из табл. 1.3, абсолютное значение в правой части таблицы возрастало после каждой итерации. Так же максимальное значение по столбцам тоже уменьшалось, пока все значения по строке не стали нулевыми или отрицательными.

Из базиса видно, что при и прибыль будет максимальной и составит 385 ден.ед. Учитывая условия целостности, примем , тогда прибыль составит, так же как и при графическом методе, ден.ед.