4. Теоретическое обоснование косвенных методов определения скоростных параметров летательного аппарата

Исследование возможностей косвенного определения скоростных параметров ЛА. Основная идея, которая лежит в основе исследования, состоит в том, что если известны такие параметры движения, как ли­нейные и угловые ускорения, то уравнения динамики полета преобра­зуются в уравнения связи между параметрами скоса потока, угловыми координатами, угловыми скоростями, геометрическими параметрами са­молета и другими величинами, влияющими на динамику полета. Так как большинство перечисленных параметров либо известно заранее, либо может быть измерено, то возможно косвенное определение неизвестных параметров по указанным уравнениям связи. Рассмотрим этот вопрос подробнее, для чего запишем систему уравнений динамики движения самолета. Как известно [13], уравнения движения центра масс само­лета и движения относительно центра масс могут быть выражены в век­торной форме:

где m - масса самолета; - угловая скорость системы координат;

- скорость ЛА; - внешние активные силы; _rp - гравитацион­ные и центробежные силы; t - текущее время; - момент количест­ва движения самолета; _k - главный момент внешних сил самолета.

Запишем эти уравнения в проекциях сил и моментов на оси свя­занной системы координат:

Для простоты примем, что w₁=0 (угловая скорость Земли), j_k=0 (ускорение Кориолиса) и j_ц,=j_пер=О (центростремительное ускорение и переносное ускорение). Если обозначим через ре­зультирующие показания всех трех акселерометров, то тогда можно записать [2]

где g_rp - гравитационное ускорение.

Запишем равенство (3.4) в проекциях на связанные оси OX,OY,OZ, получаем

где g_rpx1=-gsinϑ, g_rpy1=-gcosϑcosγ, g_rpz1=gcosϑsinγ. Теперь можно видеть, что выражения в квадратных скобках в первых трех уравнениях системы (3.3) являются не чем иным, как результатами показаний акселерометров для каждой связанной оси.

Кроме того, так как

то уравнения системы (3.3) можно записать в виде

где S_x1, S_y1, S_z1, - ускорения, измеренные акселерометрами, уста­новленными вдоль связанных осей:w_x,w_y,w_z - угловые скорости, измеренные датчиком угловых скоростей; _x1, _y1, _z1 - угловые ус­корения, измеренные датчиком угловых ускорений; δ_з,δ_в,δ_н - извест­ные величины угловых отклонений элеронов, руля высоты, руля пово­рота при управлении самолетом; М - число Маха, измеренное мах. метром; R_e - число Рейнольдса (необходимо учитывать для пересчета результатов экспериментов, полученных при испытаниях моделей, на натурное изделие); Р - тяга двигателя (измеряется приближенно); ρ - плотность воздуха (определяется из таблиц стандартной ат­мосферы); V - воздушная скорость самолета, измеренная указателем воздушной скорости; S - площадь крыла; φ_р - угол заклинения дви­гателя относительно связанной системы координат; тп - масса само­лета; J_x1, J_y1, J_z1 моменты инерции самолета относительно осей коор­динат.

Таким образом, имеется шесть уравнений с числом неизвестных величин не более шести. Решая эти уравнения, можно определить эти неизвестные. При меньшем количестве уравнений часть величин должна перейти из разряда вычисляемых в разряд измеряемых. Комби­нируя количество используемых в системе уравнений и число неиз­вестных, можно получить различные варианты для вычисления искомых величин.

Наличие акселерометров в инерциальной навигационной систе­ме (ИНС) создает дополнительные возможности для косвенного опре­деления таких важных параметров, как углы атаки α и скольже­ния β. Как отмечалось выше, непосредственное определение этих величин с помощью всевозможных измерителей вектора скорости за­труднительно из-за их конструктивных особенностей. Особенно это относится к определению углов α и β вертолетов, так как значи­тельная интерференция воздушных потоков, вызванная работой несу­щих винтов, усложняет применение измерителей вектора скорости. В то же время при движении вертолета в атмосфере, как и любого другого ЛА, объективно существует вектор воздушной скорости V. Знание этой величины необходимо для выполнения наведения. Поэто­му имеет смысл рассмотреть возможность косвенного определения углов α и β на основе информации, полученной от акселерометров. Безусловно, косвенное определение углов α и β не свободно от ошибок, которые могут быть вызваны рядом факторов: приближенно­стью уравнений динамики полета, ошибками акселерометров и др.

Исследование точности косвенного определения аэродинамичес­ких углов представляет существенный теоретический и практический интерес, так как в результате этого исследования могут быть полу­чены рекомендации по более широкому использованию ИНС.

Вывод уравнений для косвенного определения скоростных пара­метров ЛА. Движение самолета в общем случае происходит под дейст­вием тяги двигателя, силы тяжести и аэродинамических сил, обус­ловленных взаимодействием самолета с воздушной средой. При анали­зе летных характеристик и расчете маневров самолета представляют интерес перегрузки по осям скоростной системы координат: продоль­ная п_x, нормальная п_y и боковая п_z. Акселерометры, установлен­ные на борту, измеряют перегрузки п_x1 , п_y1 , п_z1 по осям связан­ной системы координат. При небольших углах атаки α и скольже­ния β (до 5 град.) пересчет осевых перегрузок из связанной сис­темы координат в скоростную можно выполнить по приближенным фор­мулам [3]:

Если известны силы, действующие на самолет, перегрузки п_x , п_y , п_z

можно вычислить по следующим формулам [3, 14]:

где Р - тяга двигателя; Q - лобовое сопротивление; Y - подъем­ная сила; Z - боковая сила; G - полетная масса самолета.

Аэродинамические силы определяется зависимостями:

где q - скоростной напор, q = ρV²/2, C_x , C_y , C_z - аэродинамические

коэффициенты; S - площадь крыла; ρ - плотность воздуха на дан­ной высоте полета; V- воздушная скорость самолета.

Тяга двигателя может быть получена из следующего выражения:

где m_в.с - секундный расход воздуха; w - скорость истечения га­за из сопла.

Тогда, приравняв выражения (3.7) и (3,8), можно записать

Из полученных соотношений следует, что, если известны пере­грузки п_x1 , п_y1 , п_z1 , величины α, β и V могут рассматриваться тоже как известные, т.е. по данным уравнениям можно определить вектор воздушной скорости самолета. При этом возможны варианты указанного метода, когда некоторые из величин α, β и V не вы­числяются, а измеряются. Особый интерес представляет прямое изме­рение модуля V , поскольку оно выполняется с относительно высо­кой точностью. Во всяком случае, вопрос о том, какое определение величины V (прямое или косвенное) является более предпочтитель­ным, может быть решен после анализа допустимого уровня точности датчиков и точности обработки информации на борту самолета. Учи­тывая малость ошибки перспективных датчиков, такой анализ можно выполнить, используя для этой цели обычные методы линеаризации погрешностей.

Анализ точности косвенного определения скоростных парамет­ров ЛА. Перейдем в уравнениях (3.11) от величин к их приращени­ям, получим следующие уравнения ошибок:

После несложных преобразований первые два уравнения систе­мы (3.12) для случая равномерного прямолинейного полета самолета примут вид

где

Для нахождения ошибки в измерении угла атаки используем пер­вое уравнение системы (3.14), тогда

Перейдем от случайных величин к их средним квадратическим отклонениям. Получим

Проведенная оценка показывает, что при высокой точности ак­селерометров перспективного класса первые два слагаемые в подко­ренном выражении оказываются значительно меньше третьего слагае­мого. На основании этого выражение (3.17) можно привести к виду

Получим теперь выражения для ошибки в определении воздушной скорости ∆ . Из второго уравнения системы (3.14) найдем

Перейдя в этом равенстве от случайных величин к их средний квадратическим отклонениям, имеем

где α определяется из равенства Y=G , т.е. C_y(α)S*ρV²/2=G или

C_y(α) =2G/SρV².

Обозначим и проведём исследование этого коэффициента, используя (3.14),(3.24),(3.25). После несложных преобразований получим

Так как A(C^α_y)²α⁴ весьма мал, то в конечном счете его можно

опустить. Таким образом, можно с высокой степенью точности поль­зоваться выражением

где

Выражение (3.18) с учетом вышеизложенного примет вид

Проведенные расчеты показывают, что во всех случаях значе­ние К(α) весьма близко к α, поэтому можно записать

Перейдем теперь к упрощению выражения для оценки точности определения модуля вектора воздушной скорости, для чего рассмот­рим равенство (3.20). В нем аналогично равенству (3.17) два пер­вых слагаемых, содержащихся в подкоренном выражении, оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с остальными слагаемыми. Поэто­му равенство (3.20) можно привести к виду

С учетом коэффициента К(α) и соотношений (3.14), (3.24)-(3.26) получим следующее выражение;

При величина α² пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Выражение C^α_y/C_x(1-2AC^α_y)α² имеет значение, не превышающее 0,1. С другой стороны, величины од­ного порядка малости. Поэтому третье и последнее слагаемые в подкоренном выражении, содержащие множитель могут быть отброшены. С учетом сказанного выражение (3.34) можно привести к следующему упрощен­ному виду:

Результаты расчета величин показывают, что точ­ность определения модуля вектора воздушной скорости значительно ниже, чем при измерении этой величины с помощью указателя воз­душной скорости. Этот вывод справедлив лишь потому, что остается низкой точность измерения тяги двигателя. При разработке новых способов определения тяги, обеспечивающих ее измерение с такой же точностью, как и другие параметры, возможно использование косвенного метода определения V. Однако на современном этапе целесообразно отказаться от этого. Отсюда модуль V является не вычисляемой величиной, а измеряемой с первичной ошибкой ∆V.

Если самолет осуществляет полет в горизонтальной плоскости без крена с некоторой перегрузкой n_z1>0 то в этом случае урав­нения (3.12) и (3.13) для определения величины ∆ и ошибок ∆α и ∆β с учетом условий (3.14) примут вид

α и β могут быть найдены на основании следующих соотно­шений:

При малых углах β можно принять . Тогда

Зная значения перегрузки n_z1, можно определить угол β.

Например,определим уголу β для перегрузок n_z1=0,5 и n_z1=1,0 соответственно. При этом значения величин С^α_у и С^β_z следу­ющие: С^α_у = 2 и С^β_z = 1.

Вернемся к системе уравнений (3.36). Обозначим правые части соответственно через b₁, b₂, b₃. Из этой системы можно опре­делить ошибки ∆ , ∆α и ∆β.

Введем обозначения

С учетом этих обозначений система уравнений (3.36) примет вид

Из первых двух уравнений (3.40) найдем ∆ :

Из второго и третьего уравнений тоже можем определить ∆ :

Приравняем выражения (3.41) и (3.42):

Выполнив преобразования о учетов условий (3.39), получим выражение для ∆β:

Для удобства дальнейших исследований обозначим

Тогда выражение для ∆β будет следующим:

где

Преобразуем выражение (3.46):

В последнем равенстве обозначим

С учетом вышеизложенного средняя квадратическая ошибка угла скольжения будет

Упростим выражения для коэффициентов a^*₁, a^*₂, a^*₃ и D, записав их с учетом (3.14) и (3.39) и пренебрегая величинами второго по­рядка малости:

При высокой точности показаний акселерометров правые части уравнений системы (3.36) примут более простой вид:

Вернемся теперь к ошибке в определении угла скольжения ∆β, найденной из (3.46). На основании (3.51) и (3.52) будем иметь

Выражение для относительной ошибки в определении скорости с учетом (3.53) и (3.54) будет следующим:

Тогда

Ошибку ∆α определим из второго уравнения системы (3.14):

Подставим в (3.58) величины b₂, a₂₁,a₂₂, ∆ и проведем несложные преобразования: