1. Теоретическая основа лабораторной работы

а)

б)

в)

Рисунок 1.2 - Переходные характеристики колебательного типового звена

При переходная характеристика ТЗ не имеет колебаний и становится похожей на переходную характеристику апериодического ТЗ (рисунок 1.2,б). Поэтому колебательное звено при иногда называют апериодическим звеном второго порядка. При отсутствии демпфирования ( ) колебательное ТЗ называют консервативным колебательным ТЗ. Переходный процесс в этом звене сопровождается незатухающими колебаниями (рисунок 1.2,б). На практике всегда имеется трение и потери энергии, поэтому переходный процесс в колебательном ТЗ имеет затухающий характер.

1.1.3 Реальное дифференцирующее ТЗ

Дифференцирующее типовое звено может быть идеальным и реальным. Реальное дифференцирующее ТЗ описывается зависимостью

(8)

где k - коэффициент передачи звена;

T - постоянная времени.

Переходная функция реального дифференцирующего ТЗ определяется из решения дифференциального уравнения (8) при и имеет следующий вид:

(9)

Переходная характеристика (рисунок 1.3,а) реального дифференцирующего ТЗ по формуле (9), представляет нисходящую экспоненциальную кривую. При , а при , т. е. постоянная времени представляет собой время, в течении которого выходной параметр принимает величину, равную 36,8 % от первоначального значения (при ). Из анализа переходных характеристик (рисунок 1.3,б) следует, что чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает переходной процесс в реальном дифференцирующем ТЗ. Величина коэффициента передачи не влияет на время переходного процесса (рисунок 1.3,в).

а)

б)

в)

Рисунок 1.3 ‑ Переходные характеристики реального дифференцирующего типового звена

1.2 Частотные характеристики

Частотные характеристики ТЗ получают при гармоническом входном воздействии, заданном либо в тригонометрической форме

либо в экспоненциальной форме

где

—амплитуда;

-круговая частота;

—начальная фаза входного сигнала;

‑ мнимая единица.

При этом выходной сигнал изменяется также по гармоническому закону (рисунок 1.4) с той же частотой , но с другой амплитудой и начальной фазой :

или

Рисунок 1.4 – График выходного сигнала типового звена при подаче на вход гармонического сигнала

Зависимость отношения комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала от частоты колебаний называют частотной функцией, которая будет

,

где — модуль частотной функции или амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

‑ аргумент частотной функции, или фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика ТЗ может быть представлена на комплексной плоскости, если предварительно представить частотную функцию в виде

где — действительная часть частотной функции;

— мнимая часть частотной функции.

Частотная характеристика ТЗ на комплексной плоскости называется амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ) типового звена. Частотная функция ТЗ может быть получена из выражения для его передаточной функции , представляющей собой отношение изображений по Лапласу выходной величины и входной величины при нулевых начальных условиях

,

где —оператор Лапласа.

1.2.1 Апериодическое ТЗ

Дифференциальное уравнение (2) этого звена, записанное в операторной форме, имеет вид

Решив его относительно , получим выражение для Передаточной функции апериодического ТЗ:

(10)

Заменив в соотношении (10) на , получим выражение для частотной функции апериодического ТЗ:

(11)

Тогда АЧХ и ФЧХ будут определяться из выражений

; (12)

. (13)

Из формулы (12) для АЧХ апериодического ТЗ следует, что с увеличением частоты колебаний величина уменьшается, что характеризует уменьшение , при Апериодическое ТЗ обладает свойством низкочастотного фильтра: хорошо пропускает сигналы низких частот и плохо — сигналы высоких частот колебаний (рисунок 1.5,а). Из ФЧХ апериодического ТЗ (рисунок 1.5,6) ясно, что выходные колебания отстают по фазе от входных колебаний тем больше, чем больше частота колебаний. При амплитуда стремится к нулю, а

а)

б)

в)

Рисунок 1.5 – Частотные характеристики апериодического звена

1.2.2 Колебательное ТЗ

Дифференциальное уравнение (6) колебательного ТЗ, записанное в операторной форме, имеет вид

.

Передаточная и частотные функции определяются соотношениями

(14)

а)

б)

в)

Рисунок 1.6 – Частотные характеристики колебательного ТЗ

Модуль и аргумент частотной функции, полученные из выражения (14), имеют вид

(15)

(16)

При значениях коэффициента демпфирования АЧХ колебательного ТЗ представляет собой резонансную кривую (рисунок 1.6,а). Резонансная частота колебаний определяется по формуле

При АЧХ колебательного ТЗ представляет собой кривую, похожую на АЧХ апериодического ТЗ. С увеличением частоты колебаний ( ) амплитуда колебаний на выходе из колебательного ТЗ стремится к нулю, а фаза выходного сигнала будет отставать от фазы входного на угол (рисунок 1.6,б). В консервативном колебательном ТЗ ( ) на происходит резкая смена фазы выходного сигнала на угол . АФЧХ колебательного ТЗ располагается в IV и III квадратах комплексной плоскости, как показано на рисунок 1.6,в.

1.2.3 Реальное дифференцирующее ТЗ

Операторное уравнение реального дифференцирующего ТЗ в соответствии с формулой (8) имеет вид

.

Передаточная и частотная функции определяются равенствами

(17)

АЧХ и ФЧХ, определенные из соотношения (38), имеют вид

(18)

. (19)

АЧХ реального дифференцирующего звена (рисунок 1.7,а) имеет вид нарастающей кривой, что указывает на то, что это звено обладает свойством фильтра высоких частот: хорошо пропускает колебания высоких частот и плохо — колебания низких частот. Сдвиг по фазе ( ) при изменении частоты колебаний от нуля до бесконечности уменьшается от до нуля (рисунок 1.7,6). АФЧХ реального дифференцирующего ТЗ представляет собой полуокружность, расположенную в первом квадранте (рисунок 1.7,в).

а)

б)

в)

Рисунок 1.7 – Частотные характеристики дифференцирующего ТЗ