2. Определение динамических характеристик объектов и систем управления методом моментов

Разложим в ряд Падэ:

где — момент -ого порядка импульсной функции.

Момент импульсной функции можно определить по моментам корреляционной и взаимокорреляционной функции следующим образом:

— момент взаимокорреляционной функции:

— момент корреляционной функции:

Подставим в 2.6.21; 2.6.22, 2.6.23, 2.6.20:

;

;

Так как корреляционная функция четная, то все моменты нечетного порядка будут равны 0. С учетом этого условия перепишем 2.6.27:

Так как .

Если на входе системы действует случайный процесс в виде белого шума, то корреляционная функция определяется в виде -функции, то есть . Можно подобрать таким образом, что , а . Поэтому система 2.6.28 примет вид:

тогда:

Данный метод моментов предполагает структуру искомой передаточной функции в виде бесконечного ряда моментов импульсной функции. На практике порядок искомой передаточной функции ограничен, поэтому понижается точность полученной передаточной функции.

2. Применение метода модулирующих функций для определения динамических характеристик объектов и су

Данная задача решается в несколько этапов:

На первом этапе принимается и выбирается дифференциальное уравнение -ого прядка, описывающее динамические свойства моделируемого объекта.

где — входная переменная процесса;

— шум.

Принимается, что случайный процесс с математическим ожиданием равным нолю.

— искомые коэффициенты.

На втором этапе выбирается моделирующая функции . Свойства :

1. она должна быть непрерывной;

2. она должна быть ограничена и дифференцируема;

3. на границе интервала сама функция и все её производные должны быть равны нолю.

Третий этап. Умножаем уравнение 2.6.30 на :

Для нахождения коэффициентов уравнения 2.6.31 проинтегрируем его по частям. При этом каждая составляющая интегрируется только раз каков порядок производной этой составляющей. В результате получим;

С учетом свойства модулирующих функций:

Для составления уравнений необходимо составить реализацию и

В качестве примера моделирующей функции можно принять следующее выражение:

6. Получение модели статики объектов и су

1. Определение моделей статики (уравнения регрессии) при пассивном эксперименте

Если при моделировании объекта с применением этого метода переменные не могут контролироваться, то применяется статический метод.

Сущность: в режиме нормальной эксплуатации объекта измеряется входные переменные и соответствующие им (см. Таблицу 2.1).

При планировании опытов эксперимента необходимо учитывать предпосылки методов корреляционного и регрессионного анализа, которые применяются для обработки данных эксперимента для получения уравнения регрессии вида 2.5.2.

Предпосылками корреляционного анализа являются:

1. и являются случайными нормально распределенными величинами;

2. Корреляционной связью между данными переменными является такая связь, при которой с изменением одной величины изменяется другая.

Предпосылками регрессионного анализа являются:

1. Величина является не случайной, а — случайная нормально распределенная;

2. Величины измеренные в различных опытах должны быть независимы друг от друга. Эта независимость обеспечивается выбором интервала времени. Интервал времени спада корреляционной функции.

Рис. 14

3. измеряется с погрешностью намного меньше чем величина ;

4. Дисперсии полученные в различных опытах должны быть одинаковыми. Для этого каждый опыт повторяется -раз и по результатам этих опытов рассчитывается дисперсия. Однородности дисперсий оценивается о применении статистических критериев.

Количество опытов , где -число входных переменных.

Для получения модели статики необходимо последовательно решить следующие задачи:

1. Определить форму или вид уравнения регрессии 2.5.2;

2. Рассчитать коэффициенты уравнения регрессии ;

3. Определить силу связей между , ;

4. Определить значимость ;

5. Определить адекватность полученного уравнения регрессии от экспериментальных данных.

1. Определение вида уравнения регрессии.

Для каждой зависимости принимается линейная форма уравнения регрессии:

и далее решаются все остальные задачи. Если принятая форма 2.7.1 является адекватной, то принятая гипотеза является удачной.

2. Определение коэффициентов уравнения регрессии:

Если 2.7.2 дифференцируема, то коэффициенты можно определить с помощью метода наименьших квадратов, математическая формулировка которого имеет вид:

Данный функционал обеспечивает минимум квадрата разности между измеренным и рассчитанным значением выходной величины.

Для получения минимума необходимо:

Преобразуем:

2.7.4 является системой нормальных уравнений.

В общем виде данная система не решается.

Пример1.

принимаем

Пример 2.

Пример 2. Трансцендентное уравнение регрессии.

В некоторых случаях при получении уравнения статики при малом числе опытов для получения адекватного уравнения полиномиальная форма недостаточна и применяется трансцендентные уравнения:

Для получения коэффициентов, чтобы получить систему нормальных уравнений необходимо линеаризовать уравнения 1, 2, 3.

Уравнения 1, 2 приводим к линейному виду путем логарифмирования:

3. Определение силы линейной связи между , .

Для оценки силы связи применяется выборочный коэффициент корреляции:

— среднее квадратичное отклонение входной переменной.

Чем выше по модулю значение , тем теснее связь между и . Знак при показывает на характер изменения и : “+” и изменяются в одинаковом направлении.

Выборочный коэффициент корреляции, рассчитанный по 2.7.5 проверяется на значимости по следующей формуле:

табличное значение критерия Стьюдента, которое выбирается из таблиц распределения Стьюдента для уровня значимости и число степеней свободы .

Если неравенство 2.7.8 выполняется, то коэффициент является статически значимым м между и существует линейная связь.