12. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин х и у удовлетворяет условию .

Определение: Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: . .

Доказательство: Рассмотрим случайную величину Z = . Вычислим ее дисперсию . Поскольку левая часть неотрицательна, то правая неотрицательна. Следовательно, , |ρ|≤1.

13. Как вычисляется дисперсия в случае непрерывного распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностью дисперсия D(X) не существует, а математическое ожидание M(X ) существует.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и математическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

.

1. В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b],

2. 

3. 

4. ∞ - интеграл расходится, следовательно, дисперсия не существует.

14. Докажите, что для нормальной случайной величины Х с функцией плотности распределения математическое ожидание М(Х) = μ.

Формула описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Докажем, что μ есть математическое ожидание.

По определению математического ожидания непрерывной с.в.,

Введем новую переменную . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю ввиду нечетности подинтегральной функции. Второе из слагаемых равно μ (интеграл Пуассона ).

Итак, M(X)=μ, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру μ.

15. Докажите, что для нормальной случайной величины Х с функцией плотности распределения диспресия D(X) = σ².

Формула описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Докажем, что - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Введем новую переменную z=(х—μ)/ . Отсюда .Приняв во внимание, что новые пределы инте­грирования равны старым, получим Интегрируя по частям, положив u=z, найдем Следовательно, .Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

16. Докажите, что для непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание .

Говорят, что случайная величина X, принимающая только неотрицательные значения, распределена по показательному закону, если для некоторого положительного параметра λ>0 функция плотности имеет вид:

Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой

M(X)=

Найдем интеграл методом интегрирования по частям, полагая u = x, dv = e^–λxd(λx), так что du = dx, v = –e^–λx. Получим

Таким образом, M(X)= .

17. Cформулируйте определение начальных моментов случайной величины. Докажите, что если х и у – независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N) случайной величины Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

Теорема: если Х и У независимые СВ, то

Док-во:

-по теореме умножения математического ожидания для независимых величин.