5.5. Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же случайного испытания. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

1). Появление некоторого события А;

2). Появление противоположного ему события .

Пусть вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна P(A) = p (0  p  1). Тогда вероятность события в каждом испытании будет равна P( ) = 1 – p = q.

Теорема Вероятность наступления события А ровно k раз при выполнении n независимых испытаний вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(k) = C^k_np^kq^n–k. (10)

Пример 12 Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В условиях данной задачи n = 5; p = 1/4; q = 3/4; k = 4.

Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

P₅(4) = C⁴₅(1/4)⁴(3/4)¹ = 5(1/4)⁴(3/4)¹ = 53(1/4)⁵ = 15/1024.

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот k успешных испытаний. А какая из этих вероятностей будет иметь наибольшее значение? Или другими словами: при каком k достигается максимум P(k)?

Теорема 13. В n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является:

a) единственное число k₀ = [np + p], если число k₀ не целое;

б) два числа k₁ = k₀ и k₂ = k₀ –1, если число k₀ целое.

Видим, что в зависимости от того, является число k₀ = np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных "наиболее вероятных" числа успехов k₁ = k₀ и k₂ = k₀ – 1, либо одно "наиболее вероятное" число успехов k₀ = [np + p].

Следствие теоремы Бернули Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна P_k(1) = p q^k–1.

5.6. Приближенная формула Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нас интересует вероятность получить три успеха в 1000 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью единичного успеха 0,0001. Вероятность этого события равна:

P₁₀₀₀(3) = C³₁₀₀₀0,0001³0,9999⁹⁹⁷, но вычислить это выражение довольно сложно. Как быть?

Теорема Пуассона Пусть в испытаниях по схеме Бернулли n → ∞ и p → 0 так, что np → λ > 0. Тогда вероятность получить k успехов стремится к величине:

P_n(k) = C^k_np^kq^n–k → λ^ke^–λ / k! (11)

при этом абсолютная погрешность не превышает величины δ = np².

Таким образом, мы сами можем решать, достаточно ли n велико, а p мало, руководствуясь полученной величиной погрешности δ. На практике пуассоновским приближением пользуются, когда npq ≤ 9.

Теперь мы можем вернуться к нашей задаче, в которой: n = 1000, p = 0,0001, λ = np = 10000,0001 = 0,1 и k = 3. Подставив значения этих параметров в формулу (14), получаем:

P₁₀₀₀(3) = 0,1³e^–0,1 / 3! = 0,001(2,718281828)^–0,1 / 6 ≈ 0,000151; (δ = 0,000001).

Если npq ≥ 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа Пусть в испытаниях по схеме Бернулли n → ∞ и p → 0 так, что np → λ > 0. Тогда вероятность получить k успехов стремится к величине:

P_n(k) = C^k_np^kq^n–k → exp(–x²/2) / (2π npq)^1/2 (12)

при этом величина x = (k – np) / (npq)^1/2 должна быть ограниченной при n → ∞.

Теорема Бернулли Если k – число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого ε > 0 справедливо соотношение:

lim_{n → ∞} P(|k/n – p| < ε) = 1 или, что то же самое lim_{n → ∞} P(k/n) = p.

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов k/n приближается к значению вероятности p – успеха в одном испытании.