5. Основные формулы вычисления вероятностей

5.1. Формулы умножения вероятностей

Для любых двух зависимых событий A и B справедлива формула:

P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A), [P(AB) ≠ 0]. (5)

Для любых двух независимых событий A и B справедлива формула:

P(AB) = P(A)P(B). (6)

5.2. Формулы сложения вероятностей

Если события A₁ и A₂ несовместные, то: P(A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂) (7)

Если события A₁ и A₂ совместные, то: P(A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁A₂) (8)

Пример 9 Найти вероятность вытащить туза (событие A) или червовую масть (событие B) при случайном выборе одной карты из полной колоды.

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) = 4/52 + 1/4 – 4/521/4 =

= (16 + 52 + 4) / 208 = 72/208 = 9/26.

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов (если керосина хватит).

5.3. Формула полной вероятности

Т еорема Пусть имеется группа событий H₁, H₂, ..., H_n, называемых гипотезами, образуют полную группу событий, т.е. обладает следующими свойствами:

1). Все гипотезы попарно несовместны: H_iH_j = Æ; i, j = 1, 2,..., n; i ¹ j.

2). Объединение гипотез образует пространство элементарных исходов:  = H₁ + H₂ + ... + H_n.

Тогда вероятность наступления любого события А  . может быть вычислена по формула полной вероятности:

P(A) = P(H_i)P(A|H_i). (9)

Пример 10 Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод – 35% и 3-й завод – 40% всей продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция через общий склад поступает в продажу. Найти вероятность покупки бракованного изделия.

Пусть событие А состоит в покупке бракованного изделия. Рассмотрим три гипотезы: Н_i – изделие изготовлено i-ым заводом (i = 1, 2, 3). Вероятности этих гипотез нам известны: P(Н₁) = 0,25; P(Н₂) = 0,35; P(Н₃) = 0,4. Нам также известны следующие условные вероятности: P(A|Н₁) = 0,05; P(A|Н₂) = 0,03; P(A|Н₃) = 0,04. Тогда:

P(A) = 0,250,05 + 0,350,03 + 0,40,04 = 0,0125 + 0,0105 + 0,0160 = 0,0390.

5.4. Формула Байеса (апостериорные вероятности)

Пусть Н₁, Н₂, ..., Н_n – полная группа событий и A   – некоторое событие с ненулевой вероятностью. Тогда условная вероятность того, что имело место реализация гипотезы H_i, если в результате эксперимента наступило событие A, можно вычислить по формуле Байеса:

P(H_i|A) = P(A|H_i)P(H_i) / P(H_i)P(A|H_i). (9)

Вернемся к примеру 10 и найдем условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если оно оказалось бракованным.

P(H₁|A) = P(H₁)P(A|H₁) / P(A) = 0,0125 / 0,0390 = 125 / 390 = 25 / 74.

Пример 11 Один из двух стрелков стреляет в подброшенную монету из укрытия. Вероятности их попадания равны: 0,02 и 0,03 соответственно. Было зафиксировано попадание. Какова вероятность того, что: а) стрелял первый стрелок; б) стрелял второй стрелок?

Можно выдвинуть две гипотезы относительно проведения эксперимента:

Н₁ – стреляет 1-й стрелок и Н₂ – стреляет 2-й стрелок.

Априорные вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н₁) = P(Н₂) = 1/2.

Найдем вероятность попадания по монете в условиях данного эксперимента:

P(A) = P(H₁)P(A|H₁) + P(H₂)P(A|H₂) = 0,50,02 + 0,50,03 = 0,010 + 0,015 = 0,025.

Найдем теперь апостериорные вероятности реализации выдвинутых гипотез:

P(H₁|A) = P(H₁)P(A|H₁) / P(A) = 0,010 / 0,025 = 10 / 25 = 2 / 5 = 0,4.

P(H₂|A) = P(H₂)P(A|H₂) / P(A) = 0,015 / 0,025 = 15 / 25 = 3 / 5 = 0,6.