2. Понятие вероятности

2.1. Аксиоматическое определение вероятности

Рассмотрим произвольное конечное множество Ω = {ω₁, ω₂, ..., ω_k}, которое будем называть множеством элементарных исходов, а его элементы ω_i – элементарными исходами.

Пусть задана функция P: Ω → [0, 1], ставящая каждому элементарному исходу ω_i в соответствие число P(ω_i) из отрезка [0, 1], причем выполняется условие: =1.

Функция P(ω_i), удовлетворяющая этим свойствам, называется вероятностью на Ω.

Пара (Ω, P), удовлетворяющую перечисленным выше требованиям, называется конечным вероятностным пространством.

Через |Ω| обозначается число элементов в множестве Ω.

Наиболее строгое и общее определение понятия "вероятность" дал русский математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987). Оно гласит:

Каждому событию А из поля событий сопоставляется неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью этого события и удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

1. Р(А) ≥ 0;

2. Р(U) = 1;

3. Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если события А и В несовместны.

2.2. Классическое определение вероятности

Можно вычислять вероятности случайных событий, используя так называемый априорный подход, который заключается в анализе специфических условий данного эксперимента без реального проведения самого эксперимента.

Часто возможна ситуация, когда пространство элементарных исходов  конечно, причем характер случайного эксперимента таков, что вероятности осуществления каждого из n элементарных исходов равны (подбрасывание монеты, бросание игральной кости, извлечение карт из игральной колоды). Легко понять, что в этом случае вероятность наступления любого элементарного исхода равна 1/n (в силу аксиомы 2).

В общем случае, когда в случайном эксперименте возможно n равновероятных элементарных исходов, а интересующее нас событие A наступает только при реализации любого из m_A элементарных исходов, то вероятность наступления события A равна:

P(A) = m_A/n. (1)

Задачи

№1. Найдите вероятность вытаскивания карты с "картинкой" из полной игральной колоды (p = 12/52 = 3/13).

№2. Найдите вероятность вытаскивания карты масти пик из полной игральной колоды (p = 1/4).

№3. Найдите вероятность выпадения семи очков при бросании двух игральных кубиков (p = 1/6).

2.3. Статистическое определение вероятности

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы равновероятными. Из жизненного опыта известно, что кость будет более часто падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость достаточно большое число раз (например, n = 1000 или n = 5000), подсчитать число выпадений трех очков m₃ и считать вероятность выпадения трех очков равной m₃/n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных исходов. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность наступления некоторого i-го исхода определяется как предел относительной частоты появления этого исхода m_i/n в процессе проведения неограниченного числа случайных экспериментов:

. (2)

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле (2) существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.