1. Алгебра событий

Понятие события – первичное понятие теории вероятностей и оно строго не определяется. Событие – это то, что при определенных условиях может произойти или не произойти. В общем случае событие – это некоторое множество элементов (ни одного, один, несколько или ∞).

Пример 1 Бросается игральная кость один раз.

Пусть событие А означает: Выпало четное число очков.

Множество элементов события А: А = {2, 4, 6}.

Определение Событие, которое нельзя разбить на элементы называется элементарным исходом.

В примере 1: выпадение одной конкретной грани игральной кости.

Определение Событие, которое в данных условиях происходит всегда, называется достоверным событием (U).

В примере 1: выпадение любой грани игральной кости.

Определение Событие, которое в данных условиях никогда не происходит, называется невозможным событием (V).

В примере 1: одновременное выпадение сразу двух граней игральной кости.

Пример 2 Бросаются две игральные кости один раз.

Пусть событие А означает: Выпала некоторая комбинация очков.

Пусть событие B означает: Выпала некоторая сумма очков.

Множество элементов события А: А = { (1, 1), (1, 2), …, (1, 6),

(2, 1), (2, 2), …, (2, 6),

. . . . . . . . . . . . . . . . .

(6, 1), (6, 2), …, (6, 6) }.

Множество элементов события B: B = {2, 3, 4, …, 12}.

Рассматривая события как множества, можно определить действия над событиями.

Пример 3 Бросается игральная кость один раз.

Пусть событие A₁ означает: Выпало четное число очков.

Пусть событие A₂ означает: Выпало число очков меньше, чем 4.

Пусть событие A₃ означает: Выпало 5 очков.

Пусть событие A₄ означает: Выпало 3 очка.

1 . Объединение или сумма событий A и B есть событие С, содержащее все элементы события А и события В (С = A + B) – т.е. произошло либо событие A, либо событие B, либо оба события A и B одновременно.

В примере 3: C = A₁ + A₂ = {1, 2, 3, 4, 6}.

2 . Пересечение или произведение событий A и B есть событие С, содержащее только общие элементы событий А и В (С = AB) – т.е. произошли оба события A и B одновременно.

В примере 3: C = A₁A₂ = {2}.

3. Если пересечение событий есть пустое множество, т.е. события не имеют общих элементов, то такие события называются несовместными.

В примере 3: события A₁ и A₃, A₁ и A₄, A₂ и A₃, A₃ и A₄.

4 . Говорят, что событие В влечет за собой событие А, когда при наступлении события B обязательно происходит и событие A, – т.е. все элементы события В входят в событие А, но событие А может содержать элементы, не входящие в событие В (В  А).

В примере 3: A₄  A₂.

5. Если одновременно А  В и В  А, т.е. все элементы у событий А и В общие, то такие события называются равносильными или равными (A = B).

6. Все элементарные исходы, в сумме составляющие достоверное событие U, образуют пространство элементарных исходов ().

При однократном бросании одной кости пространство элементарных исходов  содержит 6 элементов, а при одновременном бросании двух костей – 36 элементов (всевозможные сочетания числа очков на первой и второй костях).

7. Событие, дополняющее некоторое событие А до достоверного события U, называется противоположным событию А – т.е. противоположное событие Ẵ, состоит в том, что событие А в результате эксперимента не произошло.

Очевидно, что: А + Ẵ = U.

8 . Разность двух событий A и B есть событие C, содержащее элементы события А, не принадлежащих событию B (C = A \ B) – т.е. состоящее в том, что произошло событие А, но событие В при этом не произошло.

9. Симметрической разностью событий A и B называется событие C, состоящее из всех элементов объединения множества A и B, но не принадлежащих их пересечению (C = A  B) – т.е. произошло либо событие A, либо событие B, но не оба события A и B одновременно.

1 0. Попарно несовместные события, в сумме составляющие достоверное событие U, образуют полную группу событий.

Пример 4 Выбрано некоторое случайное число при этом наступают два

события: А – число делится на пять B – число оканчивается

нулем. Каков смысл событий: С₁ = AB и С₂ = A+B?

С₁ означает, что число делится на пять и оно оканчивается нулем, т.е С₁ = B.

С₂ означает, что число делится на пять или оно оканчивается нулем, т.е С₂ = A.

Пример 5 После начала шахматной партии прошел 1 час.

Полная группа событий: А – партия еще не закончена;

B – партия закончилась, при этом:

B₁ – выиграл первый шахматист;

B₂ – выиграл второй шахматист;

B₃ – партия завершилась в ничью.

Прежде, чем определить вероятность на данном пространстве элементарных исходов , необходимо построить поле событий – множество событий, которое включает в себя в качестве элементов:

1. Достоверное событие.

2. Невозможное событие.

3. Все элементарные исходы данного пространства .

4. Все события, которые на этом пространстве можно построить путем сложения (объединения) событий, путем перемножения (пересечения) событий, а также путем взятия противоположных событий от любого ранее построенного события.

Таким образом, никакая операция алгебры событий над заданным пространством элементарных исходов  не порождает события, не принадлежащего полю событий. Поле событий может содержать конечное число элементов (если конечно число элементарных исходов) или бесконечное множество событий.