6.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание (среднее значение)

Определение Математическим ожиданием называется:

– для дискретной случайной величины: Mx = ∑х_ip(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Mx = ∫^+∞_–∞ xf(х)dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания).

Свойства математического ожидания:

1. Если С – постоянная величина, то МС = С.

2. МСх = СМх

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х + y) = Мх + Мy.

4. Если случайная величина принимает свои значения х_i с различными вероятностями p(x_i | H_j) при разных условиях H_j, то условное математическое ожидание определяется как:

– для дискретной случайной величины: Mx | H_j = ∑х_ip(х_i | H_j);

– для непрерывной случайной величины: Mx | H_j = ∫^+∞_–∞ xf(х | H_j)dx.

Если известны вероятности событий H_j, то может быть найдено полное математическое ожидание: Mx = ∑(Mx | H_j)p(H_j).

Пример 13 Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения орла?

Эту задачу можно решать "в лоб", построив вариационный ряд:

хi	0	1	2	3	. . .	k	. . .	∞
p(хi)	0	1/2	1/4	1/8	. . .	1/2k	. . .	0	∑∞0 k/2k

но эту сумму еще надо суметь вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н₁ – орел выпал в первый же раз, Н₂ – в первый раз он не выпал. Очевидно, что р(Н₁) = р(Н₂) = ½; Мx | Н₁ = 1; Мx | Н₂ на 1 больше искомого полного математического ожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем:

Мх = (Мx | Н₁)р(Н₁) + (Мx | Н₂)р(Н₂) = 10,5 + (Мх + 1)0,5.

разрешая данное уравнение относительно Мх, легко находим, что Мх = 2.

5. Если φ(x) – есть некоторая функция случайной величины х, то ее математическое ожидание вычисляется как:

– для дискретной случайной величины: Mφ(x) = ∑φ(x_i)p(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Mφ(x) = ∫^+∞_–∞ φ(x)f(х)dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания).

Дисперсия случайной величины

Определение Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания:

– для дискретной случайной величины: Dx = ∑(х_i – Mx)²p(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Dx = ∫^+∞_–∞ (х – Mx)²f(х)dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии).

Свойства дисперсии:

1. Если С – постоянная величина, то DС = 0.

2. DСх = С²Dх.

3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий только, если эти случайные величины независимы (определение независимых величин).

4. Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу: Dx = Mx² – (Mx)².

Мода

Определение Мода Mo – значение случайной величины, которой соответствует локальный максимум плотности распределения (для непрерывных случайных величин) или значение случайной величины, которое наиболее часто повторяется в вариационном ряду (для дискретных случайных величин).

Например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 10; Мо = 6.

Распределение может иметь одну моду (одномодальное), две моды (двухмодальное) или несколько мод (многомодальное).

Мода, как средняя величина, употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей – белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый – мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

Медиана

Медиана Ме – значение случайной величины, которое делит ранжированную совокупность ее значений (вариационный ряд) на две равные части: 50 % "нижних" единиц ряда будут иметь величину не больше, чем медиана, а 50 % "верхних" – не меньше, чем медиана.

Например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 10; Ме = 7.

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладет на стол деньги из своего кармана. По пять долларов кладет каждый бедняк, а миллиардер – $1 млрд. В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будет среднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате. Медиана же в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда).

6.3. Связь числовых характеристик и параметров типичных распределений

Распределение	Параметры	Формулы	Mx	Dx
Равномерное	a, b	f(х) = 1 / (b – a)	(b + a) / 2	(b – a)2 / 12
Нормальное	m, σ	f(х) = (2πσ)–1/2exp[–(x – m)2/2σ2)	m	σ2
Бернулли	n, p	Pn(k) = Cknpkqn–k	np	npq
Пуассона	λ	P(k) = λke–λ / k!	λ	λ

Закон больших чисел

Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе независимых испытаний частота появления случайного события близка к его вероятности. Это известное на бытовом уровне явление строго следует из теоремы Чебышева (закон больших чисел).

Центральная предельная теорема и ее следствие

Нормальное распределение – наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема, утверждающая, что сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в эту сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем 1/n, поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа, утверждающая, что если производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может происходит с вероятностью р, то закон распределения величины x = (k – np) / (npq)^1/2, где: k – число появлений события в n испытаниях, а q = 1 – p, стремится к нормальному с математическим ожиданием равным 0 и дисперсией равной 1 при n стремящемся к бесконечности.