4.2. Линейная многофакторная модель
Задача: получить уравнение линейной двухфакторной зависимости по числовым данным (таблица 4.1).
При описании сложных систем, эффективность функционирования которых определяется многими факторами, наиболее часто используют линейные модели. Их достоинство основано на сравнительной простоте получения таких моделей, а также то, что они имеют ясную содержательную интеграцию. Недостатками таких моделей являются увеличение погрешности расчета интегрального (комплексного) показателя при нелинейном влиянии на него хотя бы одного фактора.
1. Линейная многофакторная модель имеет вид:
Для расчета статистических коэффициентов уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов.
Для нахождения коэффициентов линейной двухфакторной регрессии
необходимо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными
(3)
где: n - количество экспериментальных (статистических, опытных) данных.
Имея соответствующие значения показателей и факторов можно
составить расчетную таблицу,
определив суммы в каждом столбце и,
подставив их в систему уравнений (3)
найти
коэффициенты
В
таблице 4.1 представлена такая расчетная
таблица, в которой по
известным
произведена
оценка
численных коэффициентов регрессионной
двухфакторной модели.
Таблица 4.1
Запишем систему уравнений:
С
После преобразования получим новую систему уже двух уравнений с двумя неизвестными.
45
Решение этой системы позволяет получить уравнение линейной двухфакторной зависимости:
(Дать анализ влияния коэффициентов)
Двухфакторная модель комплексно описывает тенденцию изменения анализируемого показателя, но, как правило, усложняет толкование технического, технологического или экономического смысла полученных коэффициентов регрессии.
известны значения двух факторов (показателей, переменных) Х1 - и Х2,
коэффициентов регрессии
коэффициента парной корреляции
критерия выбора, корреляционное отношение
10 наблюдений искомой функции F
Для нахождения коэффициентов линейной двухфакторной регрессии
(1)
необходимо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными
(3)
где: n - количество экспериментальных (статистических, опытных) данных.
Решение задачи.
По исходным данным определяем линейную двухфакторную регрессию f к Х1 - и Х2, в соответствии с выражением (3).
Определяем слагаемые первого уравнения системы (3)
;
Получаем первое уравнение системы
.
(4)
Определяем слагаемые второго уравнения системы (3)
;
;
25518
Записываем второе уравнение системы
.
Определяем слагаемые третьего уравнения системы
;
(используем ранее
полученное выражение
);
Записываем
третье уравнение системы
.
Составляем систему уравнений
.
Решая данную систему уравнений получаем значения коэффициентов
.
Подставляя значения коэффициентов в уравнение (1), получаем
38,25+0,46х1-0,13х2=f