9. Оценить стационарность связи.

9.1. Рассчитать коэффициенты корреляции по первой и второй половине совместного периода наблюдений. Расчет вести по форме табл.5.1.

9.2. Проверить статистическую гипотезу о равенстве действительных значений коэффициента корреляции по разным периодам.

10. По уравнению регрессии восполнить пропуски наблюдений в ряду Y.

11. Оценить адекватность модели рассматриваемой связи

Примеры расчетов и построений

1. Исследовать связь значений максимального стока (Y) и средних годовых расходов (X) реки Волга у п. Вязовые за период с 1911 по 1950 г.. Исследование связи проводиться в соответствии с изложенным выше планом.

1. Нанести точки связи Y=f(X) в поле графика в декартовых координатах (рис. П.5.1).

Для построения по оси ординат откладываются значения ряда Y, а по оси абсцисс значения ряда X. При этом по осям Y и X выбирается один из стандартных масштабов (1 : 1, 1 : 2, 1 : 2,5, 1 : 5, 1 : 10, 1 : 20 …). Обычно выбор масштаба определяется размером рисунка и амплитудой колебаний значений Y и X. Кроме того, желательно, чтобы линия связи проходила примерно под углом 45⁰ к оси X или амплитуда разброса точек связи в поле графика была примерно одинакова по осям Y и X.

2. Рассчитать коэффициент корреляции r_yx между исходными рядами Y и X.

Расчет коэффициента корреляции производиться в соответствии с формой табл. 5.1. В результате расчетов получаем (табл. П.5.1):

_x= 3540, _y= 22100, _x= 667, _y= 7440, ∑δy_iδx_i = 123566556

В свою очередь по значениям _x, _y, _x, _y и сумме ∑δy_iδx_i, рассчитывается по формуле (5.10) значение коэффициента корреляции:

_yx =0,71.

Таблица П.5.1.- Расчёт числовых характеристик и коэффициента корреляции средних годовых (X) и максимальных расходов(Y) : р.Волга - п. Вязовые, 1911 – 1950 г

№ n/n	xi	yi	δxi	δyi	iδxi 2	δyi 2	δyi δxi
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3490	21600	-33	-222	1093	49383	7346
2	3490	22900	-33	1078	1093	1161605	-35627
3	4030	22000	507	178	256993	31605	90123
4	4680	31300	1157	9478	1338520	89828272	10965262
5	4920	27600	1397	5778	1951454	33382716	8071235
6	4140	31700	617	9878	380620	97570494	6094040
7	3710	23300	187	1478	34948	2183827	276262
8	3740	32000	217	10178	47065	103587160	2208012
9	3170	30400	-353	8578	124648	73578272	-3028432
10	3580	25200	57	3378	3243	11409383	192346
11	4150	26000	627	4178	393059	17453827	2619235
12	4000	30300	477	8478	227476	71872716	4043429
13	3620	14600	97	-7222	9398	52160494	-700154
14	4520	41400	997	19578	993898	383289383	19517957
15	4000	23100	477	1278	227476	1632716	609429
16	4560	26200	1037	4378	1075254	19164938	4539512
17	4220	29900	697	8078	485732	65250494	5629762
18	3080	12200	-443	-9622	196298	92587160	4263179
19	3760	32300	237	10478	56143	109783827	2482651
20	3140	12200	-383	-9622	146732	92587160	3685846
21	3000	20500	-523	-1322	273587	1748272	691596
22	3270	13600	-253	-8222	64037	67604938	2080679
23	3290	27100	-233	5278	54315	27854938	-1230015
24	2230	13600	-1293	-8222	1671993	67604938	10631790
25	2740	15700	-783	-6122	613176	37481605	4794040
26	2350	15400	-1173	-6422	1376059	41244938	7533623
27	2610	17200	-913	-4622	833670	21364938	4220346
28	3630	20100	107	-1722	11437	2966049	-184182
29	3060	12200	-463	-9622	214420	92587160	4455623
30	3130	15500	-393	-6322	154493	39970494	2484985
31	2850	12100	-673	-9722	453004	94521605	6543596
32	3360	17500	-163	-4322	26587	18681605	704762
33	4240	20300	717	-1522	514009	2317160	-1091349
34	3430	19900	-93	-1922	8659	3694938	178873
35	2560	14900	-963	-6922	927476	47917160	6666485
∑=	126830	785600	0	0	15344364	1950482222	123566556
cреднее=	3540	22100		σ=	667	7440

3. Рассчитать параметры уравнения регрессии Y=f(X) a и b и уравнения регрессии X=f(Y) - a' и b' соответственно по формулам (5.3 – 5.6):

a = 0,71• 7440 / 667 =7,92; b = 22100 – 7,92 • 3540 = - 5950;

a' = 0,71•667/7440 = 0,064, b'=3540 – 0,063 • 22100 = 2130.

Подставляя значения этих параметров в формулы (5.1) и (5.2) получаем

расчетный вид уравнения регрессии

y_i = 7,92х_i -5950 , (5.40)

x_i = 0,064 y_i +2130

4. В поле графика (рис.1) провести линии регрессии Y=f(X) и X=f(Y). Для этого необходимо для каждого уравнения найти координаты, как минимум, двух точек и затем провести через них прямые линии.

В таблице П.5.2 для построения линии регрессии У = f (X) приведены максимальное, минимальное и среднее значения X и соответствующие им значения Y, рассчитанные по уравнению регрессии (5.40). Аналогичные координаты для построения линии регрессии X = f(Y) представлены в таблице П.5.3

Таблица П.5.2.Значения координат линии регрессии Y=f(X)

Xmin	2230	Y1	11700
Xcp	3520	Y2	22000
Xmax	4920	Y3	33000

Таблица П.5.3.Рассчет координат линии регрессии X=f(Y).

Ymin	12200	X1	2910
Ycp	21600	X2	3510
Ymax	41400	X3	4780

По этим координатам в поле графика с нанесенными ранее точками связи (рис. П.5.1) проведены линии уравнений регрессии.

Рисунок 6.2 – График связи средних годовых (Q_ср) и максимальных (Q_макс) расходов реки Волга у п. Вязовые (--- линия регрессии Y по X, - - - линия регрессии X по Y, ○○○○○ - точки связи значений Y и X, ■■■■■ – точки связи ранжированных значений Y и X)

5. Рассчитать средние квадратические погрешности параметров уравнений регрессии и их доверительные интервалы.

5.1. Оценка коэффициента корреляции при n>30 и коэффициенте корреляции r > 0,4 производиться с помощью преобразования Фишера. С этой целью по формуле (5.20) с помощью приложения 11 по полученному значению коэффициента корреляции _yx =0,71 определяется значение z=0,887. Затем по формуле (5.22) рассчитывается средняя квадратическая погрешность статистики Фишера - σ_z =0,164 и по формуле (5.23) определяются доверительные границы z при уровне значимости 2α (2α=10%, t_α= 1,69).

0,61 < z < 1,17.

Отсюда, переведя верхнюю и нижнюю доверительную границу z по формуле (5.19) в значения коэффициента корреляции, получаем доверительный интервал коэффициента корреляции

0,54 < r < 0,83

Для оценки значимости коэффициента корреляции, учитывая, что выборочное значение коэффициента корреляции больше 0,4 (см. выше), необходимо перейти к преобразованию Фишера. В этом случае проверяется нулевая гипотеза

H₀: z = 0. (5.41)

Доверительный интервал этой гипотезы определяется по формуле (5.23). Исходя из этой формулы доверительные границы - z_кр, начиная с которых нулевая гипотеза опровергается, определяются по формуле

Z_{кр =} t_α σ_z. (5.42)

В данном случае имеем

z =0,887 , σ_z = 0,164 , t_α=1,96 , Z_кр = 0,32.

Таким образом, преобразование Фишера на много превышает доверительные границы нулевой гипотезы об отсутствии связи между рядами Y и X и следовательно нулевая гипотеза о равенстве действительного значения коэффициента корреляции нулю опровергается, то есть связь является значимой.

При определении значимости связи по коэффициенту корреляции нулевая гипотеза определяется относительно коэффициента корреляции

H₀: r = 0. (5.43)

В этом случае доверительные границы нулевой гипотезы r_k определяется по формуле (5.18).). В этой формуле - средняя квадратическая погрешность коэффициента корреляции - определяется в свою очередь по формуле (5.11),

= (1- 0,71²)/ 35^0,5 = 0,08.

Отсюда, , при уровне значимости 2α = 10% получаем следующее выражение для доверительных границ гипотезы об отсутствии связи (см. формлу 5.13)

/r_k / ≥ 1,68 * 0,08≥ 0,14.

Очевидно, что значение выборочного коэффициента корреляции, равного 0,71, намного превышает критическое значение, то есть выходит в критическую область. Поэтому гипотеза об отсутствии связи опровергается с

большой степенью достоверности и коэффициент корреляции является значимым.

Заметим, что последний расчет приводиться лишь как пример, и практического значения не имеет, так как в данном случае, учитывая величину коэффициента корреляции, необходимо использовать преобразование Фишера.

5.2. Для оценки погрешностей расчетов a, a', и b, b' и их доверительных интервалов используются формулы (5.24) – (5.27). Расчет по этим формулам дает следующие результаты

= 1,33, ,= 0,01, = 4570, _,= 54,0.

Подставляя рассчитанные значения в формулы (5.26) и (5.27) получаем следующие значения доверительных интервалов.

5,81≤ a <10,3

0.051≤ a^, <0,076

-14200≤ b <1130

2050≤ b <2230

6. Расчет средней квадратической погрешности уравнений регрессии Y=f(X) и X=f(Y), без учета и с учетом и погрешности аппроксимации стохастической связи прямой линией, производиться соответственно по формулам (5.28) и (5.29). При расчетах по первой из названных формул погрешность принимается постоянной, не зависящей от X, и равняется 5240. При расчетах по второй формуле, учитывающей увеличение погрешности с увеличением X, погрешность рассчитывается отдельно для каждого значения Y (табл. П.5.4)

Таблица П.5.4.- Расчёт доверительных границ уравнения регрессии Y по X средних годовых расходов, р. Волга - п. Вязовые

№	X	Y	Y(x)	σy(x)	Доверительные границы
					Yв	Yн
2	3490	21600	21691	5315	30673	12709
3	3490	22900	21691	5315	30673	12709
4	4030	22000	25968	5354	35016	16919
5	4680	31300	31116	5526	40454	21777
6	4920	27600	33016	5621	42517	23516
7	4140	31700	26839	5374	35920	17757
8	3710	23300	23433	5319	32423	14444
9	3740	32000	23671	5321	32663	14678
10	3170	30400	19156	5337	28176	10137
12	3580	25200	22404	5315	31385	13422
13	4150	26000	26918	5376	36003	17833
14	4000	30300	25730	5349	34770	16690
15	3620	14600	22720	5315	31703	13737
16	4520	41400	29848	5471	39095	20602
17	4000	23100	25730	5349	34770	16690
18	4560	26200	30165	5484	39434	20897
19	4220	29900	27472	5390	36582	18362
20	3080	12200	18444	5349	27484	9403
22	3760	32300	23829	5322	32824	14834
23	3140	12200	18919	5341	27945	9893
24	3000	20500	17810	5362	26873	8747
25	3270	13600	19948	5326	28950	10947
26	3290	27100	20107	5325	29106	11108
27	2230	13600	11712	5592	21162	2261
28	2740	15700	15751	5419	24910	6592
29	2350	15400	12662	5544	22032	3292
30	2610	17200	14721	5456	23942	5501
32	3630	20100	22800	5316	31783	13816
33	3060	12200	18285	5352	27331	9240
34	3130	15500	18840	5342	27868	9811
35	2850	12100	16622	5393	25736	7508
36	3360	17500	20661	5320	29651	11671
37	4240	20300	27631	5395	36748	18513
38	3430	19900	21216	5316	30200	12231
39	2560	14900	14325	5471	23572	5079
∑	123750	771800	771850	188474,8	1090372	453327,6

По данным табл. 5.4 на рис. 6.1. построены доверительные границы возможных значений Y при заданных значениях X.