Примеры расчетов и построений

Исследовать связь значений средних годовых расходов р. Оки у г. Калуга (ряд Y) с максимальным стоком р. Оки в этом же створе (ряд X₁) и средними годовыми расходами р.Оки у п. Костомарово (ряд X₂) за период с 1885 по 1924 г..

Исследование связи проводиться в соответствии с изложенным выше планом.

1. Формирование таблицы исходных данных за совместный период наблюдений.

В таблицу включаются те данные, по которым будет производиться идентификация параметров математической модели множественной корреляции (табл. П.6.1). При этом из таблицы исключаются данные с порядковым номером 1, 11, 21, 31, 40 (данные за 1885, 1895, 1905, 1915, 1924 годы). Эти исключенные данные будут использована для проверки адекватности математической модели на независимом материале

2. Построение в поле декартовых координат графика зависимости Y=f(X₁, X₂) методом контуров.

В данном случае, по-видимому, более важным фактором является ряд X₁. Поэтому при построении графика связи по оси ординат откладываются значения Y, а по оси абсцисс - откладываются значения X₁. Подбор масштаба графика по осям абсцисс и ординат проводится в соответствии с рекомендациями, изложенными в предыдущее задании. При нанесении точек (y_i,x_1i) в поле графика (рис. П.6.1) возле каждой из них выписываются номер интервала, в который попадает соответствующее значение X₂.

Для определения номера интервала по ряду X₂: находятся минимальное значение расхода - 6 м³/с, максимальное значение - 29,4 м³/с, амплитуда колебаний значений стока (разность между максимальным и минимальным значением ряда) – 23,4 м³/с. Исходя из объема совместного периода наблюдений амплитуда разбивается на три примерно равных интервала: 6 – 13,0 13,1 – 21,0; 21,1 – 29,4. В таблице П.6.1 рядом со значениями X₂ в пятой колонке приведены номера интервалов, в которые попадают эти значения.

Затем следует оконтурить точки с одинаковым номером интервала значений X₂ и в оконтуренных, пересекающихся или не пересекающихся полях, провести три линии связи для различных интервалов значений X₂.

Таблица П.6.1. Данные для идентификации математической модели множественной корреляции (Y- средние годовые расходы р. Оки у г. Калуга, X₁ - максимальный сток р. Оки у г. Калуга, X₂ - средние годовые расходы р.Оки у п. Костомарово)

Годы	Y		X1	X2			Yр1	∆
				значения		интервал
1886		298	4630	15,2	2		275	-22
1887		231	3040	11,3	1		227	-4
1888		392	9900	22,5	3		400	8
1889		346	8860	21,6	3		379	33
1890		188	3260	10	1		222,	34
1891		198	2160	11,2	1		213	15
1892		332	5380	15,7	2		290	-42
1893		350	3230	22,9	3		304	-46
1894		240	3940	10,6	1		236	-4
1896		373	8630	19,4	2		362	-11
1897		296	9180	20,9	2		380	84
1898		210	3770	11,3	1		238	28
1899		281	5250	17,4	2		299	18
1900		281	5860	18,7	2		316	35
1901		333	5820	26,7	3		367	34
1902		382	6960	15,2	2		310	-72
1903		259	3260	14,6	2		252	-7
1904		235	3990	14,2	2		260	25
1906		329	2760	17,2	2		261	-68
1907		378	5330	25	3		349	-29
1908		540	12600	29,4	3		484	-56
1909		389	4300	13,8	2		262	-127
1910		240	2110	15,7	2		242	2
1911		219	3620	11,9	1		240	21
1912		310	3660	12,2	1		242	-68
1913		261	4230	13,1	2		256	-5
1914		247	2540	12	1		224	-23
1916		347	5700	18,2	2		311	-36
1917		418	10100	24	3		413	-5
1918		220	3560	14,4	2		255	35
1919		313	6280	23,6	3		354	41
1920		258	2850	18,2	2		268	10
1921		138	2300	6	1		183	45
1922		184	2870	20,1	2		281	97
1923		260	7340	15,6	2		319	59
Среднее		294	5120	16,9			294	0,00
σ		81,3	2620	5,33			66,8	46,3

3. Расчет оценок числовых характеристик исходных рядов (математического ожидания и среднего квадратического отклонения).

Расчет производился в табличном процессоре Microsoft Excel (мастер функций, статистические функции: срзнач, стандоткл). Результаты расчета представлены в табл. П.6.1. в конце каждого ряда наблюдений.

4.Расчет и анализ коэффициентов корреляции r_0j ( j = 1, 2).

Расчет производился по формуле (6.3) с помощью мастера функций в табличном процессоре Microsoft Excel (мастер функций, статистические функции: коррел). В результате получены следующие значения коэффициентов корреляции:

r₀₁ = 0,76, r₀₂ =0,74,

и их средних квадратических погрешностей

σ_r01 = 0,072, σ_r02 = 0,077

Проверка значимости связей Y=f(X₁,) и Y=f(X₂), выполненная по схеме изложенной в предыдущем задании, показала, что обе связи являются значимыми и, следовательно, оба ряда X₁ и X₂ являются эффективными предикторами ряда Y.

6. Расчет коэффициента корреляции r₁₂ и анализ связи между рядами X₁ и X₂ .

Расчет производился по формуле (6.1), как и в предыдущем случае, в табличном процессоре Microsoft Excel (мастер функций, статистические функции: коррел). В результате получены следующие значения: r₁₂ = 0,68, σ_r12 = 0,091918. Проверка показала, что связь является значимой.

Проверка на наличие дублирующих переменных по формуле Алексеева (6.8) показала, что критическое допустимое значение коэффициента корреляции равно 0,82. Полученное нами значение коэффициента корреляции r₁₂ меньше этого значения, следовательно, переменные X₁ и X₂ не являются дублирующими и обе могут войти в уравнение регрессии.

7. Расчет оценки сводного коэффициента корреляции – R₀.

Расчет производиться по формулам (6.16), (6.17) и (6.18). В результате получаем

D₀ = 0,174, D₀₀ = 0,536, R_{0 =} 0,82

7. Расчет оценок коэффициентов веса и вывод расчетного уравнения множественной линейной корреляции.

В начале по формулам (6.13) и (6.14) рассчитываются определители D₀₁ и D₀₂ , а затем по формуле (6.12) коэффициенты веса a₁ и a₂. В данном случае по приведенным выше значениям средних квадратических отклонений (σ_y, σ_{1 ,} σ₂ ) и коэффициентов корреляции (r₀₁, r₀₂, r₁₂) получаем

D₀₀ =0,536 , D₀₁ = 0,257, D₀₂ = 0,224,

a₁ = 0,015, a₂ = 6,36.

Подставляя эти значения a₁ и a₂ в формулу (6.5) получаем расчетное уравнение регрессии

δy_iр = a₁ δx_1i + a₂ δx_2i = 0,01484 δx_1i + 6,363 δx_2i (6.31)

или, после несложных преобразований, в более простом виде

y_iр = 0,01484 x_1i + 6,363 x_2i +110,34 (6.32)

8. Расчет средних квадратических погрешностей и доверительных интервалов параметров уравнения регрессии при двустороннем уровне значимости α:

- Построение доверительного интервала сводного коэффициента корреляции в данном случае должно производиться на основе преобразования Фишера, так его величина больше, чем 0,3. Схема такого построения изложена в предыдущем задании. В результате расчетов с использованием Microsoft Excel (мастер функций, статистические функции, Фишер) имеем z= 1,163, σ_z = 0,36, при двустороннем уровне значимости 10% t_α = 1,69. Отсюда получаем

0,8757 < z < 1,4503

и затем переводя нижнюю и верхнюю границу доверительного интервала z в значения нижней и верхней границы коэффициента корреляции (мастер функций, статистические функции, Фишеробр), получаем

0,704 < R₀ < 0,896.

Очевидно что связь является значимой, так как коэффициент корреляции, равный нулю не входит в доверительный интервал.

Средние квадратические погрешности коэффициентов веса рассчитываются по формуле (6.24). Получаем:

σ_a1 =0,0043, σ_a2 = 2,09.

Зная эти значения можно построить доверительный интервал значений весовых коэффициентов (см. формулу 6.27)

0,0076 < a₁ <0,2205

2.83 <a₂ <9,90

9. По значениям X₁ и X₂, представленным в табл. П.6.1, рассчитать по уравнению регрессии значения Y – Y_{р .}Сопоставить оценки числовых характеристик исходного и рассчитанного по уравнению регрессии ряда.

Результаты расчетов значений Y – Y_р по формуле (6.32) представлены в табл. П.6.1 (6 –я колонка). В табл. П.6.2. представлены числовые характеристики значений исходного ряда (Y ) и ряда рассчитанного по уравнению регрессии ряда (Y_р ). Здесь же представлены числовые характеристики остатков или иначе – погрешностей расчетов (отклонений рассчитанных значений от фактических).

Таблица П.6.2. Оценки числовых характеристик исходного и рассчитанного ряда Y

Числовые характеристики	Исходный ряд, Y	Рассчитанный ряд, Yр	Остатки, ∆= Yр - Y
my	293,6	293,6	0
σy	81,3	66,9	46.3
Dу	6608	4466	2142

10. Построение и анализ графика связи фактических и рассчитанных значений Y. Расчет средней квадратической погрешности и построение доверительного интервала уравнения регрессии Y=f(Y_р).

Построение графика зависимости Y=f(Y_р) (рис. П.6.2) производиться в соответствии с методикой, изложенной в предыдущем задании.

Расчет доверительного интервала действительных значений Y при данных значениях X производиться по приближенной формуле (6.29), где величина σ_∆ определяется по формуле (6.25). В результате расчетов получаем

σ_∆ =46,3 и доверительный интервал при двухстороннем уровне значимости 10%

y_р - 78,2 < y < y_р + 78,2

Полученные значения доверительных границ нанесены в поле графика зависимости Y=f(Y_р) (рис. П.6.2). В критическую область связи выходит 3 точки , которые необходимо в дальнейшем проанализировать.