Проверка случайности по числу повышений и понижений последовательности значений ряда

Сущность проверки состоит в следующем. Пусть имеется выборка x_1, x _{2, … ,} x _n. Переход x_i > x_i-1 называется повышением и отмечается знаком (+), а переход x_i < x_i-1 называется понижением и отмечается знаком (-). Общее число повышений (или понижений) ряда значений случайной величины распределено асимптотически нормально с математическим ожиданием

m₊ =m_- = n/2 (7.7)

и дисперсией

D₊ = D_- = (n+1)/12 (7.8)

Зная m и D, можно рассчитать по данному ряду нормированную величину числа повышений или понижений

₊ = ( ₊ - m₊)/ ₊ , (7.9)

_- = ( _- - m_-)/ _- , (7.10)

где ₊ и _- - соответственно число повышений и понижений в исследуемом ряду.

Дальше, учитывая асимптотически нормальный закон распределения числа повышений и понижений, необходимо сравнить рассчитанные значения ₊ и _- со значениями номированных ординат нормального закона распределения при данном уровне значимости 2α. Если рассчитанные значения будут выходить за пределы доверительных границ, то гипотеза о случайности ряда наблюдений опровергается и считается, что исходный ряд имеет устойчивую тенденцию к повышению или понижении. С помощью этого критерия хорошо обнаруживаются систематические изменения среднего уровня ряда.

Проверка случайности по числу экстремумов

Экстремумом называется любой элемент, принадлежащий последовательности x_1, x _{2, … ,} x _n для которой выполняется одно из неравенств

x_i-1 < x_i > x_i+1 или x_i-1 > x_i < x_i-1

В первом случае - максимум, во втором минимум.

Общее число экстремумов случайного ряда распределено асимптотически нормально с математическим ожиданием

m_э = 2n/3 (7.11)

и дисперсией

D_э = (17n – 29)/90. (7.12)

Для проверки гипотезы о случайности исходного ряда достаточно рассчитать по этому ряду нормированное число экстремумов - _э

_э = ( _э - m_э)/ _{э ,} (7.13)

где _{э –} число экстремумов в данном ряду, и сравнить полученное значение с нормированными ординатами нормального закона распределения при заданном уровне значимости. Если полученное значение _э больше верхнего значения или меньше меньшего, то гипотеза о случайности исходного ряда опровергается.

План выполнения задания

1. Сформулировать цель, задачи и содержание работы.

2. Провести проверку случайности исходных рядов по критерию длин и числа серий.

   0. Дать теоретическое описание критерия, указав основные понятия и расчетные формулы.

   1. Подсчитать по исходным рядам количество серий k разной продолжительности (k =1,2,3,…). При этом крайние, незамкнутые серии (серии в начале и конце ряда) необходимо отбросить, соответственно уменьшив число членов ряда. Результаты расчетов представить в 1 – 4 колонках табл. 7.2.

   2. Рассчитать математические ожидания числа серий случайного ряда, отдельно для серий состоящих из элементов больших и меньших медианы:

продолжительность которых больше или равна k (к =1, 2, …,).

продолжительность которых равна k (к =1, 2, …,).

Результаты расчетов представить в 5 – 8 колонках табл. 7.2.

2.4. Рассчитать математические ожидания общего количества серий заданной продолжительности ( 9 колонка табл. 7.2)

5. Сопоставьте математическое ожидание числа серий в предположении, что ряд является случайным, и полученное по исходным рядам количество серий различной продолжительности.

2.9. По Вашим данным и данным, представленным в табл.7.1, проведите оценку нулевой гипотезы

Таблица 7.2. Оценка числа серий по исходному ряду (название ряда) и случайному ряду

Длина серий k	Фактическое число серий			Ожидаемое число серий
	0	1	Общее число серий	MR0,k	MR01k	Mr0,k	Mr1,k	Mrk
1	2	3	4	5	6	7	8	9

3. Провести проверку случайности исходных рядов по числу повышений и понижений.

1. Дать теоретическое описание критерия, указав основные понятия и расчетные формулы.

3.2. Рассчитать число повышений и понижений по исходным рядам, предварительно исключив одно из соседних равных значений, если таковые имеются.

3.3. Рассчитать математическое ожидание и дисперсию числа повышений и понижений случайного ряда по формулам 7.7 и 7.8

3.4. Рассчитать нормированные значения числа понижений и повышений по обоим рядам по формулам 7.9. и 7.10

3.5. Оценить нулевую гипотезу при уровне значимости 2α =10%. Для этого необходимо определить доверительные границы числа понижений и повышений. Исходя из того, что число повышений и понижений в случайных рядах подчиняется нормальному закону распределения. Для определения доверительных границ можно использовать таблицу нормированных ординат кривой обеспеченности нормального законе распределения (приложени1) ._, Если значение ₊ или _- > t_5% или < t_95%, то гипотеза опровергается.

4. Провести проверку случайности по числу экстремумов.

4.1. Дать теоретическое описание критерия, включив основные понятия и расчетные формулы.

4.2. Рассчитать число экстремумов по исходным рядам, исключив предварительно одно из соседних равных значений, если таковые имеются.

4.3. Рассчитать математическое ожидание и дисперсию числа экстремумов случайного ряда по формулам 7.11 и 7.12.

4.4. Рассчитать нормированные значения числа экстремумов по исходным рядам по формуле 7.13.

4.5. Оценить нулевую гипотезу при уровне значимости 2α =10%. Для этого определите доверительные границы числа экстремумов для данной гипотезы по приложению 1 (t_в = t_5%, t_н = t_95%, ) и если значение _э выходит за эти границы, то гипотеза опровергается.

5. Дать общие выводы по анализу случайности исходных рядов средних годовых и максимальных расходов.

Пример

Произвести проверку наличия внутрирядных связей в рядах средних годовых и максимальных расходов р. Волги у п. Вязовые за период наблюдений с 1911 по 1950 г.

1. Проверка случайности исходных рядов по критерию длин и числа серий.

0. Для упрощения расчетов продолжительности и количества серий в каждом исходном ряду значения большие M_e отмечаются нулем, меньшие M_e – единицей (табл. П.7.1, 4 и 8 колонки).

Таблица П.7.1 - Определение серий в ряде средних годовых расходов р. Волга - п. Вязовые, Me = 3450

№ п\п	год	Qср	Знак вод-ности	№ п\п	год	Qср	Знак вод-ности
1	1911	3110	1	21	1931	3810	0
2	1912	3490	0	22	1932	3760	0
3	1913	3490	0	23	1933	3140	1
4	1914	4030	0	24	1934	3000	1
5	1915	4680	0	25	1935	3270	1
6	1916	4920	0	26	1936	3290	1
7	1917	4140	0	27	1937	2230	1
8	1918	3710	0	28	1938	2740	1
9	1919	3740	0	29	1939	2350	1
10	1920	3170	1	30	1940	2610	1
11	1921	1920	1	31	1941	3550	0
12	1922	3580	0	32	1942	3630	0
13	1923	4150	0	33	1943	3060	1
14	1924	4000	0	34	1944	3130	1
15	1925	3620	0	35	1945	2850	1
16	1926	4520	0	36	1946	3360	1
17	1927	4000	0	37	1947	4240	0
18	1928	4560	0	38	1948	3430	1
19	1929	4220	0	39	1949	2560	1
20	1930	3080	1	40	1950	3080	1

n_общ=36, n₁= 21, n₂= 15

0. По полученной последовательности нулей и единиц подсчитывается количество серий значений 0 и 1 разной продолжительности k (k =1,2,3,…). При этом крайние, незамкнутые серии (серии в начале и конце ряда) необходимо отбросить, соответственно уменьшив число членов ряда. Результаты расчетов представлены в колонках 2 и 3 таблицах П.7.2 и П.7.2.а, составленных по форме таблицы 7.2

1. В колонке 4 таблиц П.7.2 и П.7.2.а представляется общее число серий заданной продолжительности k в исходном ряду стока, равное сумме числа серий в колонках 2 и 3.

2. В колонках 5 и 6 таблиц П.7.2 и П.7.2.а представляются математические ожидания числа серий, продолжительность которых больше или равна данной продолжительности k, рассчитанные для случайного ряда соответственно по формулам 7.2 и 7.3

3. В колонках 7 и 8 представляются математические ожидания числа серий заданной продолжительности из значений X, соответственно больших и меньших медианы, рассчитанные по формулам 7.4. и 7.5.

4. В колонке 9 представляется математическое ожидание числа серий заданной продолжительности

Таблица П.7.2. - Расчет фактического и ожидаемого, исходя из нулевой гипотезы, числа серий в ряде среднегодовых расходов, р. Волга - п. Вязовые

длина серий к	Фактическое число серий			Ожидаемое число серий
	> Me	< Me	общее число	MR0,k	MR1,k	Mr0,k	Mr1,k	MRk
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	1	2	9,33	9,2	4,00	5,50	9,50
2	2	1	3	5,33	3,67	2,35	2,26	4,62
3	0	0	0	2,98	1,40	1,35	0,89	2,25
4	0	1	1	1,63	0,51	0,76	0,33	1,10
5	0	0	0	0,86	0,18	0,42	0,12	0,54
6	0	0	0	0,45	0,06	0,22	0,04	0,26
7	0	0	0	0,22	0,02	0,12	0,01	0,13
8	2	1	3	0,11	0,005	0,06	0,004	0,06
9	0	0	0	0,05	0,001
сумма	5	4	9			9,28	9,17	18

Rn= 13,4 Rv= 23,6

Таблица П.7.2а. - Расчет фактического и ожидаемого, исходя из нулевой гипотезы, числа серий в ряде максимальных расходов, р. Волга - п. Вязовые

длина	Фактическое число серий				Ожидаемое число серий
серий	0	1	общ число	MR0,k	MR1,k	Mr0,k	Mr1,k	MRk
к			Серий
1	4	5	9	9,17	8,9	3,67	5,62	9,29
2	1	0	1	5,50	3,32	2,26	2,15	4,41
3	1	0	1	3,24	1,17	1,37	0,78	2,15
4	1	1	2	1,86	0,39	0,81	0,27	1,08
5	0	1	1	1,05	0,12	0,47	0,09	0,56
6	0	0	0	0,57	0,04	0,27	0,03	0,29
7	0	0	0	0,31	0,01	0,15	0,01	0,16
8	0	0	0	0,16	0,002	0,08	0,002	0,08
9	1	0	1	0,08	0,0005	0,04	0,0004	0,04
10	0	0	0	0,04	0,0001
сумма	8	7	15			9,13	8,94	18

Rn= 13,4 Rv= 23,6

0. В табл. П.7.3 представлены математическое ожидание и доверительные границы числа серий в предположении, что ряд является случайным, и полученное количество серий различной продолжительности полученное по Вашим рядам. Здесь же представлена оценка нулевой гипотезы об отсутствии внутрирядных связей в исходных рядах стока. По средним годовым расходам число серий выходит за пределы доверительного интервала гипотезы, поэтому гипотеза о случайности ряда с большой степенью достоверности опровергается. По максимальным расходам число серий находится в пределах доверительного интервала, поэтому гипотеза о случайности ряда не опровергается, однако она и не доказывается. В данном случае все таки вероятность того, что внутрирядные связи в ряду присутствуют больше,чем альтернативное предположение.

Таблица П.7.3. Оценка нулевой гипотезы об отсутствии внутрирядных связей в рядах средних годовых и максимальных расходов воды, р. Волга - п. Вязовые

Исходный ряд	Число серий	Случайный ряд			Оценка гипотезы
		MR	Rн	Rв
Средние годовые расходы	9	18	13,4	23,6	Опровергается
Максимальные расходы	15	18	13,4	23,6	Не опровергается

3. Провести проверку случайности исходных рядов по числу повышений и понижений.

3.1. По исходным рядам расходов подсчитывается число повышений и понижений. Если имеются равные соседние значения, то они принимаются за одно повышение или понижение. В исходных рядах средних годовых расходов оказалось 22 повышения ( ₊ = 22) и 18 понижений ( _- = 18), максимальных расходов - 21 повышение ( ₊ = 21) и 17 понижений ( _- = 17).

3.3. Математическое ожидание и дисперсия числа повышений и понижений случайного ряда по формулам (7.7), (7.8) составляет

m₊ =m_- =20,

D₊ = D_- =41/12 =3,42, σ₊ =σ _- =1,85

3.4. Нормированные значения числа понижений и повышений рассчитываются по формулам 7.9. и 7.10. Для ряда средних годовых расходов получаем:

₊ = (22 – 20)/1,85 =1,08 ,

_- = (21 – 20)/1,85=0,54.

Для ряда максимального стока получаем:

₊ = (21 – 20)/1,85 =0,54 ,

_- = (20 – 20)/1,85= 0.

3.5. Оценка нулевой гипотезы при уровне значимости 2α =10%. Доверительные границы числа понижений и повышений для данной гипотезы, учитывая нормальный закон распределения этих характеристик, определяются по прилож. 1. Если значение ₊ или _- выходит за эти границы, то гипотеза опровергается. В данном случае при двухстороннем уровне значимости 2α:

t_в = t_5%, =1,68

t_н = t_95%,=- 1,68.

Таким образом доверительный интервал гипотезы о случайности исходных рядов находится в пределах от 1,68 до -1,68. Полученные значения находятся в пределах этого интервала, то есть гипотеза о случайности ряда по систематическим изменениям среднего уровня колебаний его значений не опровергается.

4. Провести проверку случайности по числу экстремумов.

4.1. По исходным рядам расходов подсчитывается число экстремумов. Если имеются равные соседние значения, то они принимаются за один экстремум.. В исходных рядах средних годовых и максимальных расходов оказалось (см. таблицы исходных данных - табл.П.1.1. и П.1.1а задания 1) соответственно 22 и 27 экстремумов ( _э).

4.2. Расчет математического ожидания и дисперсии числа экстремумов случайного ряда производится по формулам (7.11 и 7.12.).

m_э = 2 • 40 / 3=26,7, D_э = (16 • 40 – 29)/90 = 6,79, σ_э = 2,60.

Отсюда для ряда средних годовых расходов получаем следующее нормированное число экстремумов:

_э = (22 – 26,7)/2,60=- 1,81,

для максимальных расходов:

_э= (27 – 26,7)/2,60=- 0,12

3. Оценка нулевой гипотезы об случайности исходных рядов стока при уровне значимости 2α =10%. В данном случае, как и выше, доверительные границы гипотезы по числу экстремумов определяются по прилож.1:

t_в = t_5%, =1,68, t_н = t_95%,=- 1,68.

Для ряда средних годовых расходов полученное значение _э выходит за доверительные границы. Следовательно гипотеза о случайности этого ряда по характеру цикличности опровергается. Для ряда максимальных расходов полученное значение _э не выходит за доверительные границы. Следовательно гипотеза о случайности этого ряда по характеру цикличности не опровергается.

4. Таким образом гипотеза о случайности ряда средних годовых расходов опровергается по двум из трех критериев: по числу серий и характеру цикличности, не опровергается по третьему критерию – по наличию тренда развития описываемого процесса. По- видимому, число серий и характер цикличности ряда существенно отличается от случайного ряда, но какого либо тренда в развитии процесса не прослеживается.

Гипотеза о случайности рассматриваемого ряда максимального стока не опровергается ни по одному из критериев.