§3.Граничные условия:
Скорость газа = скорость поршня
Если движение поршня x=X(t), то граничное условие имеет вид
при
(2.5)
t
x
x()
Рис. 1‑3
Из (2.4.) уравнение характеристик, начинающихся на поршне
(2.6.)
на
них
;
S=S0
C+ - не должны пересекаться!
Рис. 1‑4
Глава 6.Поршень внезапно выдергивается со скоростью –V
Рис. 1‑5
Для С+,
начинающихся на оси
-
покой
Для
С+,
начинающихся на поршне 
Для С+, начинающихся в т. x=0, t=0 – веер характеристик
Из
(2.4.) 
; 
на каждой
характеристике
Кроме того
-
справедливо везде, следует из С-
с оси х
Рис. 1‑6
1.
– покой,
– веер характеристик – переходная область
;
область постоянного движения (однородная область)
Рис. 1‑7
Когда поршень выдергивается со скоростью большей скорости звука, поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум.
Х
t
Рис. 1‑8
Глава 7.Задача о разрушении плотины в теории мелкой воды:
Рис. 1‑9
Начальные условия
при
Для
каждой С+,
выходящей из области
инвариант Римана имеет величину
Для
С- 
u>0
Рис. 1‑10 Форма волны после разрушения плотины
Задача 25.26 Написать уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение притока тепла для адиабатического движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами.
Имеют ли уравнения характеристическую форму?
Получить, составляя линейные комбинации, систему уравнений в характеристической форме, эквивалентную исходной.
Пусть движение баротропно, а массовые силы несущественны. Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик.
Решение
имеет характеристическую
форму, если
т.е. 
;
для скорости характеристик
,
где
,
где
вдоль
характеристик
вдоль
характеристик
В плоской звуковой волне распространяющейся вдоль оси х все величины зависят от x и t
Уравнение
непрерывности
;
Уравнение
движения
;
; (1)
; (2)
из
(1)
из
(2)
(3)
; 
;
(4)
вдоль характеристик
вдоль характеристик
Из
(3) и (4)
;
(5)
(6)
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х;. для нее и = v + а.
Мы
видели, что du/d
> 0. Таким образом, скорость распространения
заданной точки профиля волны тем больше,
чем больше плотность. Если обозначить
посредством ао
скорость звука для плотности, равновесной
плотности
,
то в местах сжатия -
,
,
в местах разряжения
,
Рис. 1‑11 Скорость перемещения профиля
Неодинаковость
скорости перемещения точек профиля
приводит к изменению его формы со
временем: точки сжатия выдвигаются
вперед, а точки разрежения оказываются
отставшими (,
б).
В
конце концов профиль волны может
настолько выгнуться, что
в))
кривая
становится неоднозначной (при заданном
t)
х соответствует три различных значения
.
Физически, разумеется, такое положение
невозможно. В действительности, в местах
неоднозначности возникают разрывы, в
результате чего
оказывается везде (за исключением самих
точек разрыва) однозначной функцией.
После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.
Наличие разрывов (ударных волн) приводит к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны.
в). При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его высота все более уменьшается. Происходит сглаживание, профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны.
Из сказанного выше ясно, что образование разрывов в конце концов должно произойти, во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны.
Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически.
С математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины , р, v как функции х (при заданном t} становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение (tо, между тем как при t < to эти функции однозначны. Момент (tо есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый момент tо кривая зависимости, скажем, v от x, .должна сделаться в некоторой точке х=хо вертикальной — как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной. Аналитически это означает обращение производной;, (дv/дх)t в бесконечность, т. е. производной (дх/дv)t в нуль. Ясно также, что в момент to кривая v=v{x) должна лежать по обе стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависимость v (х) была бы многозначной уже и в этот момент времени. Другими словами, точка х=хо должна быть не точкой экстремума функции x{v), а точкой перегиба, и следовательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная. Таким образом, место и момент образования ударной волны определяются совместным решением двух уравнений:
Для политропного газа эти уравнения гласят:
,
где f
{v)~
функция, входящая в общее решение
Если
простая волна граничит с неподвижным
газом, и ударная волна возникает как
раз на этой границе.
Задача
Газ находится в
цилиндрической трубе, неограниченной
с одной стороны (х
> 0) и закрытой
поршнем с другой (х
=0. В момент
времени t = О
поршень начинает двигаться равноускоренно
со скоростью U
= ±
t
. Определить возникающее движение газа
(считая газ политропным).
Решение.
Если поршень выдвигается из трубы (U ==— t), то возникает простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью ао; в области х > аоt , газ неподвижен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью поршня, т. е. должно быть v == — t при х = — t2/2, t > 0. Это условие дает для функции f(v) в (4)
(1.1.)
Этa
формула определяет изменение скорости
в области от поршня до переднего фронта
волны х = а0t
(.рис. 4.12 а) в течение времени от t=
0 до
Скорость газа
направлена везде влево, в сторону
движения поршня, и монотонно убывает
по абсолютной величине в положительном
направлении оси х;
в этом же направлении монотонно возрастают
плотность и давление. При
для скорости поршня не выполняется
неравенство
,
а потому газ не может двигаться вместе
с ним. Между поршнем и газом возникнет
область вакуума, а дальше скорость газа
будет меняться по формуле (1.1) от значения
—2aо/(
—
1) до нуля.
Рис. 1‑12 Изменение скорости
2. Если поршень
вдвигается в трубу (U=аt),
то возникает простая волна сжатия;
соответствующее решение получается
просто изменением знака у а
в формуле
(1.1) (Рис. 4.12,6). Оно применимо, однако, лишь
до момента образования ударной волны;
этот момент определяется по формуле
(4) и равен
Задача2. В цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой находится идеальный газ с P=P0,
.
В момент t=0 поршень выдвигается из трубы со скоростью u(t), причем
Возникающее движение газа считать адиабатическим, массовыми силами пренебречь.
U(t)
Г v=0, P=0
а) написать ур-я для определения v,P в характеристической форме.
б) найти скорость границы Г
в) найти распределение скорости и давления в трубе
г) найти максимальную скорость поршня, при которой он не отрывается от газа
д) пусть поршень сразу начал двигаться со скоростью u1=const
Решение
а)
вдоль
характеристик
вдоль
характеристик
где
- характеристики
с уравнениями
граничное
условие:
при
Х(t) – координата поршня
б) Предполагая решение непрерывным, применим метод характеристик.
Используя соотношения
для характеристик, проходящих через
точки оси х
(х
,
t=0),
получим, что v
= 0, а =
ао,
р = ро
всюду в области
a,ot.
Следовательно,
граница Г возмущенной области перемещается
со скоростью а.о
и совпадает
с характеристикой L+0.
На
всех характеристиках L-,
начинающихся в точках t
= 0, х
0
и пересекающих L+0,
имеет
место равенство:
- всюду в области, примыкающей к L+0., поэтому на L+' величины v и а — постоянны, L+ — прямые. Это волна Римана.
в) Считая, что область волны Римана простирается до поршня, и используя граничное условие v = и на поршне, имеем:
x
На L- 
Н
а
L+
Если поршень выдвигается из трубы, то граничное условие на поверхности поршня:
(1.1.)
При адиабатическом процессе в политропном газе
;
г)
Так как a
0, то всюду,
в том числе на поршне, должно быть
,
следовательно, полученное решение
применимо при
(u=
5ао
при
= 1,4). При
давление на поршне равно 0. Если
, то поршень отрывается от газа, между
поршнем и газом образуется вакуум,
скорость газа на границе с вакуумом
равна по величине
(скорость нестационарного истечения в
вакуум). Она вычисляется из условия р
= 0 на границе с вакуумом.
Рис. 1‑13 Картина характеристик при различных скоростях поршня.
д) Устремим t1
к нулю.
Картина характеристик на плоскости (х,
t)
будет иметь вид, показанный на рис. 4-13.
В области
все характеристики проходят через начало координат, их уравнения
,
Граница
определится
из одного из условий
пока
при
