2 Примеры решения задач

Задача 1. Имеются данные по 20 сельскохозяйственным хозяйствам. Найти коэффициент корреляции между величинами урожайности зерновых культур и качеством земли и оценить его значимость. Построить уравнение регрессии (линейную модель), которое характеризует прямолинейную зависимость между качеством земли и урожайностью. Выполнить проверку адекватности полученной модели.

Данные приведены в таблице.

Таблица 2.1 - Зависимость урожайности зерновых культур от качества земли

Номер хозяйства	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Качество земли, балл	32	33	35	37	38	39	40	41	42	44
Урожайность, ц/га	19,5	19	20,5	21	20,8	21,4	23	23,3	24	24,5

Продолжение таблицы

Номер хозяйства	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Качество земли, балл	45	46	47	49	50	52	54	55	58	60
Урожайность, ц/га	24,2	25	27	26,8	27,2	28	30	30,2	32	33

Решение

1) Проведем корреляционный анализ.

- Найдем коэффициент парной корреляции. Для нахождения коэффициента корреляции воспользуемся функцией КОРРЕЛ().

Для рассматриваемого примера r=0,9915, n=20.

- Проверим значимость коэффициента корреляции. Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента. Для этого необходимо рассчитать значение t-статистики по формуле

Найдем критическое значение критерия Стьюдента, воспользовавшись функцией СТЬЮДРАСПОБР() со следующими аргументам: Вероятность – 0,05, Степени свободы – (20-2). .

Сравнив расчетное значение t-статистики с критическим делаем выводы о значимости коэффициента парной корреляции. Если расчетное значение t-статистики больше квантиля распределения Стьюдента, то величина коэффициента корреляции является значимой.

Т.к. коэффициент корреляции значим.

2) Проведем регрессионный анализ.

Первый способ. Определение коэффициентов модели и показателей для выполнения проверки адекватности модели.

1. На листе Excel выделить массив свободных ячеек из пяти строк и двух столбцов.

2. Вызвать функцию ЛИНЕЙН.

3.Указать для функции следующие аргументы: Изв_знач_y- столбец значений показателя Урожайность, ц/га; Изв_знач_x- столбец значений показателя Качество земли, балл; Константа –1, Стат– 1 (позволяет вычислить показатели, используемые для проверки адекватности модели. Если Стат– 0, то такие показатели вычисляться не будут).

4. Нажать комбинацию клавиш Ctrl-Shift-Enter.

В выделенные ячейки выводятся коэффициенты модели, а также показатели, позволяющие проверить модель на адекватность (таблица 2).

Таблица 2.2 - Показатели модели

a1= 0,5014	a0= 2,5326
Se1= 0,0155	Se0= 0,7075
R2= 0,9830	Se= 0,5561
F= 1042,5064	n-k-1=18,0000
QR= 322,4250	Qe= 5,5670

a1	коэффициенты модели
a0
Se0	стандартные ошибки коэффициентов. Чем точнее модель, тем меньше эти величины
Se1
Se
R2	коэффициент детерминации. Чем он больше, тем точнее модель
F	статистика для проверки значимости модели
n-k-1	число степеней свободы (n-объем выборки, k- количество входных переменных; в данном примере n=20, к=1)
QR	сумма квадратов, обусловленная регрессией
Qe	сумма квадратов ошибок

Таким образом, получена следующая модель:

5. Для проверки адекватности используется критерий Фишера. Расчетное значение приведено в Показателях модели. Определим критическое значение критерия Фишера F_f. с помощью функции FРАСПОБР(). Для этого в любой свободной ячейке ввести функцию FРАСПОБР() со следующими аргументами: Вероятность – 0,05, Степени_свободы_1–1, Степени_свободы_2–18. Если F> F_f, то модель адекватна исходным данным. Сравнить полученные значения и сделать выводы.

_{Т.к. , то модель адекватная исходным данным.}

6. Проверить адекватность построенной модели можно, используя расчетный уровень значимости (P). Ввести функцию FРАСП() со следующими аргументами: X– значение статистики F, Степени_свободы_1 –1, Степени_свободы_2 – 18. Если расчетный уровень значимости , то модель адекватна исходным данным. Сравнить полученные значения и сделать выводы.

Т.к. , то модель адекватна исходным данным.

Второй способ. Определение коэффициентов модели с получением показателей для проверки ее адекватности и значимости коэффициентов. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ВИДЕ СТОЛБЦОВ.

Выбрать команду Сервис/Анализ данных/Регрессия.

Диалоговое окно Регрессии заполняется следующим образом:

Входной интервал – диапазон (столбец), содержащий данные со значениями объясняемой переменной;

Входной интервал – диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями объясняющих переменных.

Метки – флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;

Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа, в котором будет сохранен отчет.

Если необходимо получить значения и графики остатков ( ), установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Нажмите на кнопку OK.

В диалоговом окне установить: Входной интервал Y – значения показателя Урожайность, ц/га, Входной интервал X – значения показателя Качество земли, балл.

Установить флажок Метки. В области Параметры вывода выбрать переключатель Выходной интервал и указать ячейку, с которой будет начинаться вывод результатов. Для получения результатов нажать кнопку ОК.

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рисунке.

Множественный R – это - коэффициент корреляции, где – коэффициент детерминации. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми показателями. Если знак перед коэффициентом «плюс», то связь прямая, если «минус» – обратная. Для данного примера R= 0,99. Это позволяет сделать вывод, что качество земли – один из основных факторов, от которого зависит урожайность зерновых культур.

R-квадрат - это . Коэффициент является одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям )

Величина показывает, какая часть (доля) вариации объясняемой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной (  ). Чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные. Если , то между и существует линейная функциональная зависимость. Если , то объясняемая переменная не зависит от данного набора объясняющих переменных. Для данного примера показывает, что урожайность зерновых культур на 98% зависит от качества почвы, а на долю других факторов приходится 0,02%.

Нормированный R-квадрат – скорректированный (адаптированный, поправленный(adjusted)) коэффициент детерминации.

где – число наблюдений, – число объясняющих переменных.

Недостатком коэффициента детерминации является то, что он увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этом смысле предпочтительнее использовать . В отличие от скорректированный коэффициент может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенное влияние на зависимую переменную.

Стандартная ошибка регрессии , где – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Наблюдения – число наблюдений.

Отчет приведен в таблице 2.3.

Таблица 2.3а.

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	322,425	322,4250	1042,5064	0,0000
Остаток	18	5,5670	0,3093
Итого	19	327,9920

Таблица 2.3б.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	2,5326	0,7075	3,5797	0,0021	1,0462	4,0189
Качество земли, балл	0,5014	0,0155	32,2879	0,0000	0,4688	0,5340

Таким образом, получена следующая модель:

Интерпретация коэффициентов модели. В данном примере с увеличением качества почвы на один балл, урожайность зерновых культур повышается в среднем на 0,5014 ц/га.

df – degrees of freedom – число степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант .

F и Значимость F позволяют проверить значимость уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

По эмпирическому значению статистики F проверяется гипотеза равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели. Значимость F – теоретическая вероятность того, что при гипотезе равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели F-статистика больше эмпирического значения F.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если , где - табличное значение F-критерия Фишера ( ).

На уровне значимости гипотеза отвергается, если Значимость , и принимается, если Значимость .

– стандартные ошибки коэффициентов.

– t-статистика соответствующего коэффициента .

– критическая точка распределения Стьюдента, .

Если , то коэффициент считается статистически значимым.

Если , то коэффициент считается статистически незначимым. Это означает, что фактор линейно не связан с зависимой переменной . Его наличие среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения. Поэтому после установления того факта, что коэффициент незначим, рекомендуется исключить из уравнения регрессии переменную . Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более корректной.

Проверка статистической значимости коэффициентов модели выполняется по расчетным уровням значимости P, указанным в столбце P-значение. P-Значение – вероятность, позволяющая определить значимость коэффициента регрессии .

Для уровня значимости :

Если P-Значение , то коэффициент незначим, следовательно, гипотеза принимается.

Если P-Значение , то коэффициент значим, следовательно, гипотеза отвергается.

Нижние 95% - Верхние 95% - доверительный интервал для параметра .

, т.е. с надежностью 0.95 этот коэффициент лежит в данном интервале. Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Третий способ. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ.

Самостоятельно построить точечную диаграмму, отражающую связь между урожайностью и качеством земли.

Получить линейную модель зависимости урожайности зерновых культур от качества земли. Для этого выделив построенный ряд зависимости, нажать на правую клавишу мышки и в контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. В появившемся окне выбираем вид модели и добавляем на график уравнение тренда и коэффициент детерминации (величина достоверности аппроксимации).

Построить самостоятельно полиномиальную модель регрессии второго порядка.

25