2 Примеры решения задач

Задача 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы:

- промежуточный продукт,

- вектор конечной продукции,

- валовой выпуск продукции в плановом периоде,

- вектор конечной продукции в плановом периоде.

Задание:

1. составить схему отчетного межотраслевого баланса;

2. рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановый период известен валовой выпуск продукции;

3. найти вектор валового выпуска продукции в плановый период при известном конечном использовании.

Решение. Для решения задачи используем процессор Excel.

1 Схема межотраслевого баланса

Отрасли производители	Отрасли потребители			Промежуточное потребление,	Конечное использование,	Валовой выпуск,
	1	2	3
1	80	60	400
2	26	50	320
3	40	70	240
Промежуточные затраты,
Валовая добавленная стоимость,
Валовой выпуск,

Промежуточное потребление равно . Для первой отрасли 80+60+400=540, для второй 26+50+320=396, для третьей 40+70+240=350.

Валовой выпуск равен . Для первой отрасли 70+540=610, для второй 40+396=436, для третьей 50+350=400.

Промежуточные затраты равны . Для первой отрасли 80+26+40=146, для второй 60+50+70=180, для третьей 400+320+240=960.

Валовая добавленная стоимость равна . Для первой отрасли 610-146=464, для второй 436-180=256, для третьей 400-960=-560.

Схема фактического межотраслевого баланса

Отрасли производители	Отрасли потребители			Промежуточное потребление,	Конечное использование,	Валовой выпуск,
	1	2	3
1	80	60	400	540	70	610
2	26	50	320	396	40	436
3	40	70	240	350	50	400
Промежуточные затраты,	146	180	960	1286	160	1446
Валовая добавленная стоимость,	464	256	-560	160
Валовой выпуск,	610	436	400	1446

2 Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановый период известен валовой выпуск продукции.

Рассчитаем коэффициенты прямых затрат .

Матрица прямых затрат (А) имеет следующий вид:

0,13115	0,13761	1,00000
0,04262	0,11468	0,80000
0,06557	0,16055	0,60000

Матрица «Затраты - Выпуск» равна В = Е – А.

0,86885	-0,13761	-1,00000
-0,04262	0,88532	-0,80000
-0,06557	-0,16055	0,40000

Вектор конечного использования равен произведению матрицы В на Х_ПЛ (можно воспользоваться функцией МУМНОЖ ()).

-863,385

-569,488

343,537

Полученные значения не допустимы, т. к. объем конечного потребления – это положительная величина. В данном случае отрицательное значение объясняется тем, что промежуточное потребление по отраслям 1 и 2 больше значения Х_ПЛ.

Объемы межотраслевых поставок определяются по формуле

.

26,2295	37,1560	1000,0000
8,5246	30,9633	800,0000
13,1148	43,3486	600,0000

Схема баланса на плановый период.

Отрасли производители	Отрасли потребители			Промежуточное потребление		Конечное использование		Валовой выпуск
	1	2	3
1	26,2	37,2	1000,0		1063,4		-863,4		200,0
2	8,5	31,0	800,0		839,5		-569,5		270,0
3	13,1	43,3	600,0		656,5		343,5		1000,0
Промежуточные затраты	47,9	111,5	2400,0		2559,3		-1089,3		1470,0
Валовая добавленная стоимость	152,1	158,5	-1400,0		-1089,3
Валовой выпуск	200	270	1000		1470,0

3. Найти вектор валового выпуска продукции в плановый период при известном конечном использовании.

Найдем обратную матрицу к матрице «Затраты-Выпуск» (можно использовать функцию =МОБР())

Вектор валового выпуска продукции в плановый период равен (можно использовать функцию МУМНОЖ ()).

1145,7772

849,1406

778,6571

Задача 2. В экономике работают 3 отрасли, каждая из которых затрачивает на воспроизводство продукции 3 вида ресурса (межотраслевые потоки):

894,6	170,0	972,7
517,0	850,0	5,0
775,3	170,0	486,3

Валовая продукция каждой отрасли представлена в таблице:

Отрасль	Xi
1	2584,3
2	1700,3
3	2432,0

Проверить матрицу прямых затрат на продуктивность разными способами.

Решение.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)^-1 0;

2) матричный ряд Е+А+ А² + А³+...= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А) ^-1;

3) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны;

4) наибольшее по модулю собственное значение Х матрицы А, то есть решение характеристического уравнения Е - А = 0, строго меньше единицы.

Проверим первое условие. Исходные данные поместим на рабочий лист Excel. Вычислим матрицу прямых затрат А . Матрица А имеет вид:

0,3462	0,1000	0,4000
0,2001	0,4999	0,0021
0,3000	0,1000	0,2000

Строим матрицу Е.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Вычислим матрицу ЕА:

0,6538	-0,1000	-0,4000
-0,2001	0,5001	-0,0021
-0,3000	-0,1000	0,8000

Строим матрицу В = (ЕА)^-1 (можно использовать функцию =МОБР()).Получаем:

2,2543	0,6764	1,1287
0,9057	2,2724	0,4586
0,9585	0,5376	1,7305

Поскольку существует обратная матрица (Е - А)^-1, все элементы которой неотрицательны, то данная матрица является продуктивной.

Проверим второе условие. Вычислим элементы матриц A², A³ и т.д., используя функцию МУМНОЖ().

A2				A3				A4
0,2598	0,1246	0,2186		0,1805	0,1101	0,1479		0,1289	0,0879	0,1020
0,1699	0,2701	0,0815		0,1373	0,1602	0,0848		0,1050	0,1023	0,0722
0,1838	0,1000	0,1602		0,1317	0,0844	0,1058		0,0942	0,0659	0,0740

Как видим, элементы матриц уменьшаются, что позволяет предположить, что матричный ряд Е+А+ А² + А³+...= сходится. Суммируем матрицы Е, А, А², А³, А⁴, А⁵, А⁶ и т.д., т.к. сумма стремиться к (Е - А)^-1, то матрица является продуктивной.

Е+А+ А2					Е+А+ А2 + А3
1,6060	0,2246	0,6186				1,7864	0,3347	0,7665
0,3699	1,7700	0,0835				0,5072	1,9302	0,1683
0,4838	0,2000	1,3601				0,6155	0,2843	1,4659

Е+А+ А2 + А3+ А4						Е+А+ А2 + А3+ А4+ А5
1,9153	0,4226	0,8685			1,9825		0,4725	0,9201
0,6122	2,0325	0,2405			0,6701		2,0804	0,2833
0,7097	0,3502	1,5399			0,7590		0,3872	1,5777

Е+А+ А2 + А3+ А4+ А5+ А6						Е+А+ А2 + А3+ А4+ А5+ А6+ А7
2,0083	0,4923	0,9398			2,0155		0,4979	0,9453
0,6928	2,0981	0,3005			0,6992		2,1030	0,3054
0,7780	0,4017	1,5921			0,7833		0,4058	1,5962

….

Проверим третье условие. Вычислим главные миноры матрицы (Е - А).

Главным минором порядка квадратной матрицы называется определитель

т.е. определитель, образованный первыми строками и первыми столбцами матрицы.

Для расчета миноров используем функцию МОПРЕД().

Получим:

M1	0,6538
M2	0,3070
M3	0,1774

Как видим, все главные миноры матрицы (Е - А) положительны.