Вычисление длины дуги кривой

Длина дуг в прямоугольных координатах. Если кривая y = f(x) на отрезке является гладкой, то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a, x = b находится по формуле:

Если кривая задана параметрически

то длина дуги кривой соответствующая монотонному изменению параметра t от до , вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению полярного угла от до находится по формуле:

Пример. Найти длину астроиды

Так как астроида симметрична относительно

координатных осей, то

Рис.2.

Вычисление длин дуг кривых

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки А(2;0) до точки В(6;8).

2. Вычислить длину кардиоиды .

3. Вычислить длину одной арки циклоиды .

4. Вычислить длину дуги параболы от точки А(0;3) до точки В(4;-1).

5. Вычислить длину дуги полуокружности от точки А(-1; ) до точки В(1; ).

6. Вычислить длину дуги параболы от точки А(0;1) до точки В(1;-1).

7. Вычислить длину дуги параболы от точки А(0;1) до точки В(4;3).

8. Вычислить длину дуги кривой , отсечённой осью Ох.

9. Вычислить длину дуги кривой между соседними точками пересечения с осью Ох.

10. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения с осью Ох.

11. Найти длину логарифмической спирали от начала до точки ( ).

12. Найти длину первого витка архимедовой спирали .

13. Найти длину всей астроиды .

14. Вычислить длину петли кривой .

15. Найти длину кривой .

16. Вычислить длину дуги развёртки окружности .

17. Вычислить длину дуги кривой от до .

18. Вычислить длину дуги кривой содержащейся между и .

19. Вычислить длину дуги кривой содержащейся между точками (0;1) и (1;е).

20. Вычислить длину дуги кривой от до .

21. Вычислить длину дуги кривой , .

22. Вычислить длину дуги кривой .

23. Вычислить длину дуги кривой .

24. Вычислить длину кривой .

25. Вычислить длину дуги кривой , отсечённой прямой .

26. Вычислить длину первого завитка спирали .

27. Найти длину дуги АОВ кривой , где А и В имеют одинаковые абсциссы .

28. Вычислить длину дуги кривой .

29. Вычислить длину дуги кривой .

30. Вычислить длину кривой .

Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = f(x) и прямыми x = a, x = b, y = 0, находится по формуле:

Объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой прямыми , , , находится по формуле:

Пример: Вычислить объём тора.

Пусть круг вращается вокруг

прямой АЕ (рис.3). Тогда объ-

А В ём тора может быть рассмот-

рен как разность объёмов вра-

щения криволинейных трапе-

L C ций ABCDE и ABLDE вокруг

оси Oy.

E D Уравнение окружности LBCD

Имеет вид:

Рис.3.

, откуда , причём уравнение кривой BCD

,

а уравнение кривой BLD

.

Следовательно, искомый объём равен: