Вычисление определённого интеграла

Для вычисления определённого интеграла служит формула Ньютона-Лейбница

При вычислении определённого интеграла способом замены переменной данный интеграл преобразуется с помощью подстановки (или ). Старые пределы интегрирования заменяются новыми:

Пример. Вычислить

Пусть ,

Интегрирование по частям в определённом интеграле осуществляется по формуле:

Пример.

Вычисление площади плоской фигуры

В декартовой системе координат площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью Оx, вычисляется по одной из формул:

если на

если на

Если кривая задана параметрически

то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми x = a, x = b, y = 0 находится по формуле:

где находятся из уравнений a = x( ), b = x( )

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми .

Найдем точки пересечения

Рис.1.

Фигура симметрична относительно прямой

Вычисление площади

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырёхлепестковой розой

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями осью Оx и прямыми .

6. Вычислить площадь ограниченную кривой

7. Вычислить площадь петли .

8. Окружность разделена параболой на две части. Найти площадь обоих частей.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

14. Вычислить площадь, ограниченную одной петлёй кривой

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

17. Вычислить площадь части астроиды .

18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат, кривыми .

19. Найти площадь одного лепестка кривой .

20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

22. Вычислить площадь, ограниченную параболами .

23. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми .

24. Вычислить площадь, ограниченную линиями

25. Вычислить площадь петли кривой .

26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

28. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

29. Вычислить площадь, ограниченную замкнутой линией .

30. Вычислить площадь, ограниченную параболами .