Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида
,
где
,
сводятся к рациональной дроби с помощью
подстановки
,
где
-
общий знаменатель дробей
.
Пример:
Найти интеграл
Применим подстановку
тогда
Интегралы вида
Рационализируются
подстановкой
,
где
-
общий знаменатель дробей
.
Пример:
Найти интеграл
Так как
,
то введём подстановку
откуда
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к переменной , получим
.
Интегралы вида
можно рационализировать с помощью тригонометрических подстановок.
Для первого
интеграла следует сделать подстановку
или
,
для второго
или
,
для третьего
или
.
Пример:
Найти интеграл
Выделим в знаменателе полный квадрат
Сделаем замену
Это интеграл
второго вида, поэтому сделаем замену
тогда
Вернёмся к старой переменной
Тогда
Интегралы вида
Рационализируются с помощью одной из подстановок Эйлера
а). Если
то
б). Если
то
в). Если
-
действительные корни квадратного
трёхчлена
то
.
Пример:
Найти интеграл
Т.к.
то применим первую подстановку
.
Возведём обе части равенства в квадрат
Интегрирование иррациональных функций.
1.
16.
2.
17.
3.
18.
4.
19.
5.
20.
6.
21.
7.
22.
8.
23.
9.
24.
10.
25.
11.
26.
12.
27.
13.
28.
14.
29.
15.
30.
Определённый интеграл
Пусть функция
определена на отрезке
.
Разобьём отрезок
на n-частей
точками
Выберем на каждом
элементарном отрезке
произвольную точку
и обозначим
длину такого отрезка.
Интегральной
суммой называется сумма вида
.
Определённым
интегралом от функции
на отрезке
называется предел интегральной суммы
при
Если функция непрерывна на , то предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и выбора .
Основные свойства определённого интеграла
1). Линейность.
2). Аддитивность.
3). При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак
