Интегрирование рациональных функций
1.
16.
2.
17.
3.
18.
4.
19.
5.
20.
6.
21.
7.
22.
8.
23.
9.
24.
10.
25.
11.
26.
12.
27.
13.
28.
14.
29.
15.
30.
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
Находятся с помощью тригонометрических формул
Интегралы вида
,
где
-целые
числа.
Рассмотрим следующие случаи:
а). Один из показателей
или
-
нечётное число.
Тогда применяется
подстановка
,
если
-
нечётное, и
,
если
-
нечётное.
б). Оба показателя и - чётные положительные.
Тогда следует преобразовать подинтегральную функцию с помощью формул
в). Показатели и либо оба чётные, либо оба нечётные, причём хотя бы один из них отрицательный.
Здесь следует
применить подстановку
или
.
Интегралы вида
,
где
-
рациональная функция.
Интегралы такого
вида приводятся к интегралам от
рациональных алгебраических функций
с помощью универсальной тригонометрической
подстановки
.
При этом
.
Пример:
Найти неопределённый интеграл
Применим универсальную
тригонометрическую подстановку
Но иногда универсальная подстановка приводит к сложным вычислениям. Поэтому полезно знать следующие подстановки:
а). Если
,
т.е. подинтегральная функция является
нечётной относительно
,
то интеграл рационализируется подстановкой
.
б). Если
,
т.е. функция нечётная относительно
,
то используется подстановка
.
в). Если
,
т.е. функция чётная относительно
и
,
то нужна подстановка
.
Интегрирование тригонометрических функций.
1.
16.
2.
17.
3.
18.
4.
19.
5.
20.
6.
21.
7.
22.
8.
23.
9.
24.
10.
25.
11.
26.
12.
27.
13.
28.
14.
29.
15.
30.
