Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где - многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида:

,

где квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, т.е.

.

Интегрирование трёх первых простейших дробей не составляет большой трудности, поэтому приведём их интегрирование без дополнительных пояснений

Более сложных преобразований требует вычисление последнего интеграла

Первый интеграл вычисляется подстановкой

тогда .

Второй интеграл обозначим и запишем в виде

где (поскольку многочлен в знаменателе не имеет действительных корней, то ).

Преобразуем интеграл

Используя формулу интегрирования по частям, получим

В результате имеем

Повторяя этот процесс, в результате получим

В практических вычислениях следует использовать не рекуррентную формулу, а метод, с помощью которого она выводится.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей, причём единственным образом. Для этого знаменатель дроби записывают в виде произведения сомножителей, каждый из которых является либо степенью линейной функции , либо степенью квадратичной функции , не имеющей действительных корней. После этого приступают к нахождению простейших дробей, составляющих в сумме данную дробь . Знаменатели таких простейших дробей могут быть лишь линейные и квадратичные множители, входящие в разложение , и их степени, причём степени не больше той, с которой они входят в разложение. Поэтому каждому сомножителю соответствует выражение

.

Сомножителю вида соответствует выражение

Итак, получаем правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие:

1). Разложить знаменатель дроби на множители.

2). Записать разложение дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами.

3). Привести простейшие дроби к общему знаменателю.

4). Поскольку числитель полученной дроби равен , то приравниваем коэффициенты многочленов. Можно дать переменной x столько различных значений, сколько неопределённых коэффициентов (используя, прежде всего корни знаменателя). В любом случае получится система линейных уравнений, решив которую, найдём коэффициенты разложения.

Интегрирование рациональной дроби

Для нахождения интеграла от рациональной дроби следует выделить из неё целую часть, если дробь неправильная, т.е. представить её в виде

,

где -многочлен, - правильная рациональная дробь. Затем нужно разложить полученную дробь на простейшие и проинтегрировать каждое слагаемое в отдельности.

Пример: Найти неопределённый интеграл

Так как , причём второй сомножитель не разлагается на действительные множители первой степени, то разложение данной дроби будет иметь вид

.

Отсюда

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему:

,

отсюда

Таким образом,

Для вычисления интеграла

выделим в знаменателе полный квадрат:

и сделаем подстановку . Тогда

.

Возвращаясь к переменной , получим

.

Таким образом,

.