Несобственные интегралы

Интеграл называется несобственным, если его подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на отрезке интегрирования, либо неограниченна сама область интегрирования.

Несобственный интеграл сходится, если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае, несобственный интеграл расходится.

Несобственные интегралы с неограниченными пределами интегрирования

1.

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

, значит, данный интеграл расходится.

2.

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

3. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Несобственные интегралы от функций с бесконечным разрывом

1. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Очевидно, что в точке функция разрывна

, значит, несобственный интеграл расходится.

2. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Так как , то

.

3. Если функция имеет разрыв в точке , принадлежащей отрезку интегрирования , то

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

На отрезке интегрирования существует точка , в которой подынтегральная функция разрывна, тогда

, интеграл расходится.

Замечание: Если функция определена на отрезке и имеет внутри его конечное число точек разрыва , то

Если каждый интеграл в правой части сходится, то сходится интеграл .

Если же хотя бы один из интегралов в правой части расходится, то и интеграл расходится.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1: (признак сравнения)

Пусть заданы две функции и , причём для любого выполняется неравенство . Тогда, если

а). сходится, то сходится

б). расходится, то расходится.

Теорема 2: (предельный признак сравнения)

Пусть функции и эквивалентны в точке их разрыва или в бесконечно удалённой точке. Тогда несобственные интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно.

Примеры:

1.

. Так как , то .

Рассмотрим , интеграл сходится, значит, по теореме 1 сходится исходный интеграл.

2.

при , так как .

интеграл расходится и по теореме 2 расходится исходный интеграл.

3.

при , так как

интеграл расходится и по теореме 2 расходится исходный интеграл.

Несобственные интегралы от функций, имеющих бесконечный разрыв

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.