Неопределённый интеграл
Функция
называется первообразной для функции
,
если
или
.
Множество всех
первообразных
называется неопределённым интегралом
.
Свойства:
Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции. Дифференциал неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению.
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций
Таблица интегралов
1.
,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Интегрирование методом замены переменных
Замена переменных
производится с помощью подстановки
,
где t
– новая переменная,
- непрерывно дифференцируемая функция.
Но если
,
то
,
и тогда
.
Функцию
следует выбирать так, чтобы правая часть
этой формулы приобрела более удобный
вид для интегрирования.
Пример:
Вычислить
Пусть
,
тогда
Часто подходящую
замену следует искать в виде
,
где t
– новая переменная. В этом случае формула
замены переменной примет вид
Пример:
Вычислить
Пусть
,
тогда
Интегрирование заменой переменных.
1.
16.
2.
17.
3.
18.
4.
19.
5.
20.
6.
21.
7.
22.
8.
23.
9.
24.
10.
25.
11.
26.
12.
27.
13.
28.
14.
29.
15.
30.
Интегрирование по частям
Если
- дифференцируемые функции, то из формулы
дифференциала двух функций
получается формула интегрирования по
частям
.
Эта формула применяется в случае,
подинтегральная функция представляет
произведение двух функций. В качестве
u
выбирается функция, которая упрощается
при интегрировании, в качестве dv
– оставшаяся часть подинтегрального
выражения, из которой можно определить
v
путём интегрирования.
При нахождении интегралов вида
за u
следует принять многочлен
.
При нахождении интегралов вида
за u
принимают соответственно
.
В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула интегрирования по частям применяется несколько раз.
Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.
Примеры: Найти неопределённый интеграл
1.
; 2.
; 3.
; 4.
1. Пусть
,
тогда
2. Пусть
тогда
К последнему интегралу вновь применим формулу интегрирования по частям, положив
тогда
Таким образом исходный интеграл равен
3. Пусть
,
тогда
Пусть
,
тогда
Последний интеграл равен
Подставляя полученное равенство в исходный интеграл, имеем
Откуда выразим
Пусть
тогда
