Потенциальная энергия упругих взаимодействий
Рассмотрим
систему состоящую из твёрдого тела и
идеальной упругой пружины (см. рисунок).
У идеальной пружины масса равна нулю.
Тело движется вдоль оси X
под действием упругой силы и силы трения
согласно основному уравнению динамики:
,
где
равно смещению от состояния недеформированной
пружины.
Умножаем левую и правую части уравнения
на элементарное смещение
:
,
,
,
,
где
,
,
,
- работа силы трения.
Здесь выражение
называется потенциальной энергией
деформированной пружины,
- кинетическая энергия тела.
Механическая энергия системы равна:
В рассмотренном примере изменение механической энергии замкнутой системы равно работе силы трения:
.
Так как
,
то
.
Механическая энергия замкнутой системы убывает под действием силы трения и, как показывает опыт, превращается в тепловую энергию. Это явление называется диссипацией. Поэтому неконсервативные силы также называют диссипативными.
Если в замкнутой системе действуют
только консервативные силы, т.е.
отсутствуют диссипативные силы, то
механическая энергия в такой замкнутой
системе сохраняется. Так как
,
то
,
.
Потенциальная энергия тяготения
Рассмотрим
систему тело + Земля в ИСО, связанной с
центром Земли, так как центр инерции
системы практически совпадает с центром
Земли. Тело движется под действием силы
тяжести
и силы сопротивления воздуха
.
Тело будет двигаться согласно основному уравнению динамики:
.
Умножим левую и правую части скалярно
на элементарный перемещение
:
,
,
,
,
,
где
,
,
,
- элементарная работа диссипативной
силы:
Выражение в круглых скобках с точностью до постоянной
имеет размерность энергии
=Дж
и представляет собой механическую
энергию тело + Земля, где
является потенциальной энергией
гравитационного взаимодействия тела
с Землей. Постоянная в выражении для
потенциальной энергии определяется
выбором нулевого значения потенциальной
энергии. Например, принимая П=0 при
,
постоянную следует принять равной нулю.
Систему тело + Земля можно считать
замкнутой, но неконсервативной, так как
на тело при движении действует
диссипативная сила, работа которой
.
Механическая энергия системы тело +
Земля убывает.
В идеальном случае, когда отсутствуют диссипативные силы или ими можно пренебречь, механическая энергия сохраняется:
,
,
Примером такого движения является движение ИСЗ и орбитальных космических станций. При указанном выборе постоянной потенциальная энергия тяготения отрицательна:
(см. рисунок).
Следовательно, механическая энергия
системы тело + Земля может принимать
отрицательные значения
,
если
.
При этом тело совершает финитное
движение, ограниченное радиусом Земли
и расстоянием
.
При
движение тела не ограничено справа,
т.е. при таком значении механической
энергии тело может преодолеть притяжение
Земли. Такие движения называются
инфинитными.
Минимальная скорость, при которой тело
преодолевает притяжение Земли, называется
второй космической скоростью. Оценим
эту скорость из условия
:
Откуда
,
где
- первая космическая скорость,
