Тепловая скорость молекул газа.
Из определения температуры следует,
что
Откуда получаем для тепловой скорости молекул
Тепловая скорость характеризует интенсивность хаотического движения структурных частиц газа.
Вывод уравнения состояния идеального газа.
Мы уже вплотную подошли к получению уравнения состояния идеального газа.
Подставим в основное уравнение МКТ
идеального газа в форме
выражение для концентрации молекул
,
где
-
объём газа:
.
Это и есть уравнение состояния идеального
газа, где
-
общее число молекул газа.
В случае однородного газа число молей
газа
,
где
- число Авогадро, а
- универсальная газовая постоянная:
.
,
что совпадает с уравнением Клапейрона-Менделеева.
В случае неоднородного газа:
,
.
Смесь газов условно можно представить как однородный газ с эквивалентной молярной массой:
.
Например, для воздуха, состоящего в
основном из молекулярного азота
(~70%)
и кислорода
(~30%)
.
Барометрическая формула. Закон Больцмана.
Из основного уравнения МКТ идеального
газа
следует, что
~
при
и не изменяется от места к месту в
отсутствии внешних силовых полей.
Если газ находится в силовом поле в состоянии теплового равновесия ( ), то давление и концентрация будут изменяться в направлении поля. Примером может служить атмосферный воздух в поле тяжести Земли, давление и плотность которого уменьшаются с высотой над поверхностью Земли.
Найдём зависимость
в изотермических условиях в приближении
однородного поля тяжести Земли.
Рассмотрим однородный газ находящийся
в высоком вертикальном сосуде с площадью
основания
(см. рисунок). Выделим на высоте
элементарный объём газа
и запишем условие его равновесия
,
г
де
- масса молекулы газа,
,
-
концентрация молекул газа на высоте
,
- сила, действующая на верхнюю грань
элементарного объёма и направленная
вниз,
-
сила, действующая на нижнюю грань
элементарного объёма, направленная
вверх.
Откуда следует
,
где
.
Давление газа уменьшается с высотой
.
Поделив приращение давления
на давление газа
,
получим дифференциальное уравнение,
описывающее изменение давления с
высотой:
.
Проинтегрируем это уравнение, полагая,
что давление на «нулевой» высоте равно
.
Окончательно получим:
.
Эта
формула называется барометрической.
Давление газа в изотермической атмосфере
падает с высотой по показательному
закону (см. график). Кривая 1 соответствует
температуре
,
кривая 2 – температуре
.
Как видно атмосферное давление при
повышении температуры выравнивается
по высоте.
Поскольку ~ при , то из барометрической формулы следует:
.
Концентрация молекул газа в атмосфере
также уменьшается с высотой по
показательному закону при
.
Так как воздух является смесью различных
газов (азот, кислород, водяные пары,
углекислый газ,…), массы молекул которых
различаются, то из формулы видно, что
концентрация газов с более тяжёлыми
молекулами убывает с высотой быстрее
лёгких фракций (см. график) (
- концентрация молекул лёгкой фракции
на нулевом уровне,
- концентрация молекул тяжёлой фракции
на нулевом уровне).
Зависимость
является выражением некоторого общего
закона, называемого законом Больцмана.
Закон
Больцмана выражает общую закономерность
распределения молекул по энергии.
Например, по кинетической энергии
поступательного движения молекул или
по кинетическим энергиям вращательного
движения молекул. Вопросы, связанные с
возбуждением внутренних степеней
свободы молекул, например колебательных,
мы затрагивать не будем, так как они
подчиняются законам квантовой механики
и выходят за рамки изучаемого курса.
Закон Больцмана утверждает: молекулы газа распределены по конкретному виду энергии в состоянии теплового равновесия по показательному закону
,
где индекс
отличает вид энергии,
- число молекул с данным значением
энергии
типа
,
- постоянная. Постоянная
определяется
условием нормировки:
,
где - полное число молекул газа, а сумма берётся по всем значениям энергии молекул типа .
Уточним понятие «молекула» в модели идеального газа. Молекулы представляют собой связанное состояние двух, трёх и более атомов, представленных как материальные точки. В модели идеального газа используется представление о жёстких молекулах, в которых межатомные расстояния не изменяются. В механическом смысле молекулы участвуют как в поступательном, так и вращательном движении. Полную энергию молекулы можно представить как сумму:
,
где П – потенциальная энергия молекулы
во внешнем силовом поле, например,
- потенциальная энергия молекулы в
однородном поле тяжести Земли, следующие
три слагаемых являются компонентами
кинетической энергии поступательного
движения молекулы, последние три
слагаемых являются компонентами энергии
вращательного движения молекулы
относительно главных осей, const
включает в себя внутреннюю энергию
молекулы и атомов, которая несущественна
для теплового движения молекулы.
Закон Больцмана можно записать для всех составляющих энергии молекулы, т.е. для всех видов энергии молекулы сразу:
,
где
- полная энергия молекулы,
- число молекул с энергией
;
Закон Больцмана можно записать также
для отдельных составляющих, например,
для кинетической энергии поступательного
движения молекул
:
.