Лекция 1 Механика

Под механическим движением понимают изменение взаимного положения тел или их частей в пространстве со временем.

Механика подразделяется на кинематику и динамику:

• Кинематика изучает механическое движения, не интересуясь причиной его возникновения и изменения.

• Динамика изучает взаимосвязь между механическими движениями тел и их взаимодействиями.

Кинематика материальной точки

Материальная точка – это тело, размерами, формой и строением которого можно пренебречь.

Любое тело можно представить совокупностью материальных точек, поэтому описание движения материальной точки является основой для описания движения тела или системы тел.

Механическое движение относительно. Поэтому для описания механического движения необходимо ввести систему отсчета.

Система отсчёта включает тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы.

Наиболее часто используется прямоугольная, или декартова система координат, задаваемая ортогональным базисом, образованным единичными векторами

, | | = | | = | | = 1,

Физическое пространство трехмерно, то есть положение любой точки пространства относительно выбранной системы координат однозначно определяется тремя независимыми величинами, называемыми координатами.

П оложение материальной точки в пространстве задаётся радиус-вектором :

= x + y + z ,

где x, y, z – скалярные величины, называются координатами точки.

Величина радиус-вектора

= .

При движении материальной точки (t) изменяется с течением времени как по величине, так и по направлению.

Траектория – это линия, которую описывает в пространстве конец вектора .

Уравнение движения – это зависимость (t) или координат x(t), y(t), z(t).

Нахождение уравнения движения точки – это прямая задача кинематики.

Перемещение – это вектор, соединяющий два положения точки на траектории (см. рисунок), равный приращению радиус-вектора:

= - .

О н показывает, куда и насколько сместилась точка в пространстве за промежуток времени . Очевидно, что

= ,

= .

Величины

= - ,

= - ,

= -

называются смещениями вдоль координатных осей.

В ектор перемещения является интегральной характеристикой движения точки и равен геометрической сумме векторов перемещения за последовательные промежутки времени (см. рисунок):

= + + …

Вектор перемещения не зависит от выбора начала координат и, поэтому его можно выбирать где угодно. Это говорит о физическом равноправии всех точек пространства, то есть пространство Ньютона обладает свойством однородности.

Модуль перемещения и перемещения вдоль координатных осей в единицах СИ измеряются в метрах ( = = м).

Средняя скорость равна отношению к интервалу времени , соответствующему этому перемещению:

< > = = = .

< >= , < > = , < >= ,

Вектор средней скорости направлен вдоль : < > ,

где , , являются скалярными величинами, а >0 и не зависит от выбора начала отсчёта времени (время в механике Ньютона однородно).

Абсолютная величина средней скорости

|< >|= .

М гновенная скорость равна отношению элементарного перемещения d к элементарному промежутку времени dt, за которое произошло это перемещение (мгновенная скорость равна первой производной от радиус-вектора по времени):

= = .

= = = .

= , = , = .

– проекции мгновенной скорости на координатные оси являются скалярными величинами.

Абсолютная величина мгновенной скорости

| |=

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в точке.

Размерность скорости = .

Зная зависимость скорости от времени (t) можно определить положение точки для любого последующего момента времени (t), если было известно, где находилась точка в начальный момент времени t = 0: (0) = .

Запишем результирующее перемещение в виде суммы элементарных перемещений

Учитывая, что d = dt, получим

,

или координатном представлении:

, , .

В частном случае равномерного прямолинейного движения = const получим:

= + t, x = + t , y = + t, z = + t.

Естественный способ описания движения.

При этом движение характеризуется следующими величинами:

1. П уть S – это длина траектории, соединяющей некоторое начальное положение с положением её положением в данный момент времени.

Определение S(t) – основная задача кинематики.

Путь не может быть отрицателен (S 0).

Путь, пройденный точкой за последовательные промежутки времени равен арифметической сумме

2. Средняя скалярная скорость равна

< > = > 0, т.к. > 0, > 0.

3. Мгновенная скалярная скорость равна

= .

>0, т.к. dS > 0, dt > 0.

Путь в единицах СИ измеряются в метрах ( = м), а время в секундах = с.

Ускорение.

В общем случае скорость .

Мера изменения скорости называется ускорением.

С реднее ускорение равно

< > = = =

= ,

где = < >, = < >, = < > - проекции среднего ускорения на координатные оси, являются скалярными величинами.

Вектор среднего ускорения направлен вдоль вектора (см. рисунок):

< > ,

т.к. t > 0, и направлен в сторону вогнутости траектории.

Мгновенное ускорение равно первой производной от скорости по времени:

= = = = .

где = , = , = - проекции вектора ускорения на координатные оси.

Очевидно, | |= .

Т ак как = , то

= = .

, , .

В общем случае составляет некоторый угол со скоростью : ^ . Ускорение направлено в сторону вогнутости траектории (см. рисунок).

Плоскость, в которой лежат вектора и , называется соприкасательной.

Определение - задача динамики.

Зная зависимость (t), можно определить (t), если известно :

,

или в координатном представлении:

, , .

В случае плоского движения (траектория лежит в одной плоскости) ускорение можно представить как сумму

(см. рисунок) в каждой точке траектории, где

,

.

- касательное ускорение, - нормальное ускорение.

Очевидно,

где = - характеризует изменение величины скорости за единицу времени,

= - характеризует изменение направления скорости,

R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Доказательство:

Представим

= ,

где - величина скорости, - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

,

, ,

.

При Δt → dt → 0 угол Δα → 0, , . При этом

, то есть .

Тогда в пределе из подобия треугольников следует

,

,

,

.