Расчет параметров распределения крайних значений ряда

Проверяемые значения	Формула	Проверяемые значения	Формула	Крите- рий Ki
xn, xn-1		x1 , x2		K3
xn		x1		K2
xn		x1		K1

По формулам первой строки определяются К_в и К_н из предположения, что маловероятными могут быть по два крайних значения вариационного ряда. По формулам второй строки – из предположения, что маловероятными могут быть наибольшее и наименьшее значения ряда, но при этом х₁ также может быть маловероятным. По формулам третьей строки – из предположения, что маловероятными могут быть также наибольшее и наименьшее значения ряда, но без дополнительных условий.

Принятие решения производится после вычисления по всем формулам табл.1. Расчетные значения К_в и К_н сравнить с критериями К_i , которые зависят от числа членов ряда и вероятности (надежности) оценки. Значения этих критериев приведены в табл. 2. Здесь и ниже вероятность оценок принята 0,95. Проверяемые значения имеют малую вероятность и исключаются (вычеркиваются) из ряда, если К_в > K_i и K_н > K_i соответственно.

Построчная проверка крайних значений вариационного ряда позволяет

сократить расчеты. Если в первой строке для пары х_n и x_n-1 К_в> К₃ , то x_n и х_n-1 исключаются как маловероятные и дальнейшая проверка х_n не имеет смысла. Аналогично следует поступить и для пары х₁ и х₂ в случае К_н > К₃. В противном случае следует продолжить расчеты по формулам второй строки, и если К_в  К₂, а также и для случая К_н  К₂, то продолжить расчеты по формулам третьей строки.

Таблица 2

Критерии K_i при надежности оценки 0,95

n

К1

К2

К3

3 0,941 1 1

4 0,765 0,955 0,967

5 0,642 0,807 0,845

6 0,560 0,689 0,736

7 0,507 0,610 0,661

8 0,468 0,554 0,607

9 0,437 0,512 0,567

10 0,412 0,477 0,531

12 0,376 0,428 0,481

15 0,338 0,381 0,430

20 0,300 0,334 0,372

30 0,260 0,283 0,322

После исключения маловероятных значений вычислить характеристики ряда. Среднее арифметическое значение

(2)

а среднее квадратическое отклонение

(3)

или по приближенной формуле среднее квадратическое отклонение

s= (x_max – x_min)/ d_n , (4)

где x_max и x_min - наибольшее и наименьшее значения из оставшихся в ряду членов вариационного ряда; d_n – коэффициент, зависящий также от оставшихся в ряду членов вариационного ряда. Значения d_n в зависимости от оставшихся в ряду членов вариационного ряда п приведены в табл. 3.

Далее следует определение нижней x_н и верхней х_в границ случайной величины, в которых с заданной вероятностью лежат все ее значения:

(5)

где t – параметр распределения Стьюдента при принятой вероятности.

Таблица 3

n

dn

n

dn

n

dn

n

dn

n

dn

2 1,13 5 2,33 8 2,85 11 3,17 14 3,41

3 1,69 6 2,53 9 2,97 12 3,26 15 3,47

4 2,06 7 2,70 10 3,08 13 3,34 20 3,74

При статистическом анализе данных маловероятные события характеризуются уровнем значимости. Односторонний уровень значимости q может составлять:

q = 0,025 – редкие события;

q = 0,005 – очень редкие события;

q = 0,0005 – чрезвычайно редкие события.

В бурении уровень значимости принимается 0,025. В ответственных случаях уровень значимости может быть принят равным 0,005, т. к. он характеризует “меру риска”, с которым принимается то или иное техническое или технологическое решение.

В случаях сочетания N независимых случайных характеристик уровень значимости для каждой величины приближенно равен

q_i =

где q_i – уровень значимости для i –й случайной величины. Например, при сочетании двух характеристик m и  при общем уровне значимости q = 0,025

q₂ = = = 0,158.

Отсюда следует, что расчетные величины m и  должны определяться как границы интервала их значений с вероятностью Р, равной

Р = 1 - 2q₂ = 1 - 2 0,158 = 0,684,

которой соответствует параметр нормального распределения t  1,0.

В последующих расчетах будут использованы две независимые случайные величины m и , для сочетания которых значения параметра t приведены в табл. 4. Величины р₀ и σ_сж для конкретной горной породы зависят от т, а поэтому при определении N и числа степеней свободы f не учитываются.

Таблица 4

Значения параметра t для сочетания двух случайных величин

при числе степеней свободы f = 2 n - 2

f	4	6	8	10	12	14	18	20	30	50
t	1,19	1,13	1,10	1,08	1,07	1,06	1,06	1,05	1,04	1,03

Результаты расчетов свести в таблицу по форме табл. 5

Таблица 5.- Статистические характеристики показателей механических свойств

горных пород

Обозна- чения	σсж, МПа	р0, МПа	μ	т
s
хн
хв

Заполненная табл. 5 является основным результатом статистической обработки измерений показателей механических свойств горной породы и содержит исходные данные для дальнейших расчетов.

В соответствии с теорией прочности Мора-Кулона предел текучести материала зависит от среднего нормального напряжения. Для горных пород эту зависимость принимаем в виде

τ_s = τ₀ +Ā·σ_ср, (6)

где τ₀ – начальная ордината ( сцепление горной породы); σ_ср- среднее нормальное напряжение в скелете горной породы; Ā – коэффициент пропорциональности, зависящий от внутреннего трения в горной породе.

Параметры Ā и τ₀ можно определить на основании испытаний горных пород на одноосное сжатие и вдавливание штампа:

при одноосном сжатии

τ_s = σ_сж /2; σ_ср = σ_сж /2; (7)

при вдавливании штампа

τ_s = k₁·p₀; σ_ср = k₂·p₀, (8)

где k₁ и k₂ – коэффициенты пропорциональности, зависящие от коэффициента Пуассона:

k₁ = 0,348 – 0,114 ; (9)

k₂ = 0,509 + 0,020 . (10)

При испытании на одноосное сжатие и вдавливание штампа принимаем

р_п = 0. Тогда для определения параметра Ā на основании уравнения (6) получим систему, решение которой относительно Ā следующее:

Ā = (k₁·p₀ – 0,5_сж )/(k₂p₀ – 0,5_сж). (11)

Возможность выхода стенки скважины из упругого состояния тем выше, чем меньше прочность породы и чем выше коэффициент Пуассона. Поэтому параметр ₀ определяется по показателям р_0н, _сж.н (см. табл. 5). Тогда, согласно уравнения (6):

₀ = (k₁ - Ā·k₂ )p_0н ; (12)

τ₀″ = (1 - Ā)0,5σ_сж.н . (13)

Из двух значений _0, рассчитанных по формулам (12) и (13), выбрать меньшее. Итогом расчета будет уравнение (6), записанное с числовыми коэффициентами, например, при Ā = 0,108 и ₀ = 56,2 МПа

_s = 0,108_ср + 56,2, МПа,

которое и будет характеризовать прочностные свойства горной породы заданного интервала бурения.

2. РАСЧЕТ ЕСТЕСТВЕННЫХ ДАВЛЕНИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ

В ГОРНЫХ ПОРОДАХ

Естественные напряжения в горных породах обусловлены весом вышележащих пород и пластовым давлением р_п. Осредненные напряжения в горной породе называются горным давлением и характеризуются двумя компонентами: геостатическим р_г и боковым р_б давлениями (рис. 1). Геостатическое давление равно

р_г = ρ·g·z, (14)

где ρ – плотность горных пород по заданию; g – ускорение силы тяжести; z – глубина залегания пород по подошве заданного интервала. Например, при

ρ = 2500 кг/м³ и z = 840 м

р_г = 2500·9,81·840 = 20601000 Па = 20,6 МПа. ( 1 МПа = 1 Н/мм²).

а б

Рис. 1. Схемы к расчету компонент горного давления (а) и напряжений

в скелете горной породы (б)

Характеристикой бокового давления является коэффициент бокового распора λ, значения которого с заданной вероятностью лежат в интервале от λ_н до λ_в:

λ_н = μ_н /(1 – μ_н); (15)

λ_в = μ_в /(1 – μ_в). (16)

Давление жидкостей и газов в порах и трещинах породы называется пластовым (поровым) и в данной задаче определяется по формуле

р_п = р΄р_в = р΄ρ_в.gz,

где р΄ - заданное относительное пластовое давление; р_в – давление столба воды на глубине z; ρ_в – плотность воды ( ρ_в = 1 г/см³ = 1000 кг/м³).

Пластовое давление оказывает существенное влияние на напряжения в скелете горной породы. Учет этого влияния дал следующие формулы:

_3в = p_п + (p_г – р_п)/с_н; (17)

σ_1н = λ_нр_г + р_п(1  _н)(1  с_н); (18)

с_н = ехр(-19,05т_в²), (19)

где σ_3в и σ_1н – расчетные вертикальные и горизонтальные напряжения в скелете породы; с_н – коэффициент, учитывающий влияние пористости на долю сечения, занятую скелетом; т_в - верхнее значение пористости в долях единицы (см. табл. 5).

3. РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДАВЛЕНИЙ В СКВАЖИНЕ ИЗ УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ СТЕНОК В УПРУГОМ СОСТОЯНИИ

В настоящее время прочностные расчеты стенок скважины ведутся с использованием теории прочности Мора-Кулона и обобщенного условия прочности Мора. Задача решается в цилиндрической системе координат, в которой z - аппликата и R - радиус вектор (полярный радиус). Расчетная схема приведена на рис. 2.

Для осадочных пород предпочтительней теория Мора-Кулона, в соответствии с которой условие упругого состояния стенок скважины

τ_max < k_дл τ_s, (20)

где τ_max – максимальные касательные напряжения в стенке скважины; k_дл - коэффициент длительной прочности; τ_s – предел текучести горной породы.

Поскольку управление напряжениями в стенке скважины осуществляется изменением давления жидкости в скважине, то условие (20) заменяется условием

р_sн < р_с < p_sв , (21)

где p_sн и р_sв – нижнее и верхнее значения давления в скважине, соответствующие условию (20

Коэффициент длительной прочности изменяется во времени от единицы в момент вскрытия породы скважиной до значения, меньшего единицы, в момент времени t, а в пределе (t) он принимает предельное значение k_. В табл. 6 приведены k_ по данным И.В. Баклашова и Б.А. Картозия.

Отличие касательных напряжений в окрестности скважины от естественных обусловлено неравенствами естественных напряжений и давления бурового раствора в скважине (р_с).

З

Рис. 2. Схема к определению компонент

напряжений в стенке скважины

аведомо соотношение их величин неизвестно, а поэтому выполняются три расчета:

1) если _z_t_R , то _max = (_z - _R)/2;

_cр = (_z + _R)/2;

2) если _t_z_R , то _max = (_t - _R)/2;

_cр = (_t + _R)/2;

3) если _z_R_t , то _max = (_z - _t)/2;

_cр = (_z + _t)/2,

где _z , _t и _R – вертикальная, тангенциальная и радиальная компоненты напряжений, действующих в стенке скважины:

_z = _3в; (22)

_R = p_п + (p_s – р_п)/с_н; (23)

σ_t = 2_1н  _R , (24)

где p_s - предельное давление жидкости в скважине при _max = k_дл_s.

Таблица 6

Предельные значения коэффициентов длительной прочности

Горная порода

k 

Горная порода

k

Глина 0,74 Каменная соль, ангидрит 0,70

Глинистый сланец, аргиллит 0,50 Мел 0,62

Песчаник, алевролит 0,64 Известняк, доломит 0,74

Расчет ведется для горных пород пласта с наибольшей пористостью, а поэтому в формулу (19) следует подставить верхнее значение коэффициента пористости m_в с заданной вероятностью и вычислить долю скелета с_н.

Первые два случая имеют место, когда давление жидкости в скважине меньше бокового давления горных пород и расчет дает ограничение давления бурового раствора снизу. В третьем случае давление жидкости в скважине больше бокового давления горных пород и расчет дает ограничение давления бурового раствора сверху. Расчетные формулы для определения р_s имеют вид:

в первом случае

p_s1 = p_п(1  с_н) + [с_н_3в (1  k_дл Ā) – 2k_дл₀]/(1 + k_дл Ā) ; (25)

во втором случае

p_s2 = p_п (1  с_н) + с_н_1н(1  k_дл Ā) – k_дл₀ ; (26)

в третьем случае

p_s3 = p_п (1  с_н) + 2 с_н_1н + [2k_дл₀  с_н_3в (1  k_дл Ā) ]/(1 + k_дл Ā). (27)

Вначале выполнить расчеты для начальных условий вскрытия горной породы, т. е. при k_дл = 1. Из полученных p_s1 и p_s2 взять большее и обозначить его p_sн . Величина p_s3 = p_sв. Из табл. 6 выбрать предельное значение коэффициента длительной прочности (k_) и рассчитать вторые значения р_sн и р_sв для построения графиков р_sн и р_sв от k_дл, как показано на рис. 3.

Область между двумя графиками р_sн и р_sв от k_дл соответствует давлению бурового раствора в скважине, при котором сохраняется упругое состояние породы в стенке скважины. Если эти графики пересекутся, то правее точки пересечения упругое состояние породы в стенке невозможно.

4. РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДАВЛЕНИЙ В СКВАЖИНЕ ИЗ УСЛОВИЙ

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ ПРИТОКА ПЛАСТОВЫХ

ФЛЮИДОВ И ГИДРОРАЗРЫВА

При бурении скважины присутствуют две текучие среды: буровой раствор в скважине и пластовый флюид во вскрываемых скважиной горных породах. Для обеспечения нормальных условий бурения каждая из сред должна находиться на своем месте: скважинная жидкость в скважине и циркуляционной системе буровой, а пластовая - в пласте.

В соответствии с «Едиными техническими правилами…» для предупреждения притока флюидов в скважину необходимо, чтобы р_с > р_п, а именно:

1. До глубины 1200 м статическое давление жидкости в скважине р_сс должно быть больше пластового на 10…15 %, но не более, чем на 1,5 МПа. Это условие имеет вид

р_сс = 1,15р_п. (28)

Если р_сс – р_п > 1,5 МПа, то принять р_сп = 1,5 + р_п, МПа.

2. В интервале глубин от 1200 до 2500 м статическое давление жидкости в скважине должно быть больше пластового на 5…10 %, но не более, чем на 2,5 МПа. Это условие описывается формулой

р_сс = р΄·ρ_в·g(125 + z)·10^-6, МПа. (29)

Если р_сс – р_п > 2,5 МПа, то принять р_сс = 2,5 + р_п, МПа.

3. При глубинах более 2500 м статическое давление в скважине должно быть больше пластового на 4…7 %, но не более, чем на 3,5 МПа. Отсюда

р_сс = р΄·ρ_в·g(175 + z)·10^-6, МПа. (30)

Если р_сс − р_п > 3,5 МПа, то принять р_сс = 3,5 + р_п, МПа.

Результатом расчета является величина р_сс, называемая нормальным противодавлением бурового раствора по отношению к пластовым флюидам. В реальных условиях бурения возможны ситуации, когда необходимо бурить при равенстве давления бурового раствора в скважине и пластового давления (бурение на равновесии), и при превышении пластового давления над давлением в скважине (бурение на депрессии). Это специальные виды бурения, которые требуют специального оборудования устья скважины.

Гидроразрыв обусловлен возникновением на стенке скважины растягивающих напряжений. Схема образования трещины гидроразрыва показана на рис. 4. Под действием давления жидкости в скважине растягивающими могут быть в основном σ_t. Следовательно, условие предупреждения гидроразрыва имеет вид

σ_t  0. (31)

Для непористых горных пород это условие имеет вид

р_с.max  p_гр= 2р_б,

где р_с.max и p_гр – максимально допустимое давление бурового раствора в скважине и давление гидроразрыва соответственно.

Для пористых горных пород принимается р_б = р_бэ (р_бэ - эквивалентное боковое давление).

Для вертикальных скважин

р_бэ = _1н .

Тогда

p_гр= 2с_н _1н + р_п(1 – с_н). (32)

Для обломочных пород широкое применение находит формула Итона:

р_гр = р_г + р_п(1 ) . (33)

Эта формула используется при отсутствии данных о дисперсиях коэффициента бокового распора и общей пористости горных пород. Она дает несколько заниженные результаты по сравнению с измеренными давлениями гидроразрыва, т. е. завышает запас прочности.

5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О ДАВЛЕНИИ БУРОВОГО РАСТВОРА

В СКВАЖИНЕ И ВЫБОР ЕГО ПЛОТНОСТИ

Выполненные расчеты предельных давлений бурового раствора в скважине дали четыре значения, существенно отличающиеся по величине. Они могут быть представлены в виде двух неравенств:

p_sн < p_c < p_sв; (34)

p_cc < p_c < p_гр. (35)

Первое неравенство отражает механический аспект задачи, а второй - гидравлический.

Регулирование давления бурового раствора в скважине осуществляется за счет изменения его плотности и за счет изменения гидравлических сопротивлений в затрубном пространстве. В случае бурения под давлением дополнительным управляемым параметром является давление на устье скважины, которое непосредственно прибавляется к статическому давлению в скважине, создаваемому весом столба бурового раствора,

р_сд = ρ₁gz + p_у + Δр, (36)

р_сд = ρ₁gz + Δр,

где р_сд - динамическое давление бурового раствора в скважине; ρ₁ - плотность бурового раствора; р_у - избыточное давление на устье скважины (при нормальных условиях бурения р_у = р_а ≈ 0, здесь р_а - атмосферное давление); Δр - ожидаемые колебания давления бурового раствора в затрубном пространстве при проведении в скважине технологических операций.

Для решения вопроса о выборе плотности бурового раствора удобно все давления привести к статическому безразмерному виду путем деления всех давлений на давление столба воды р_в, например, на глубине 5000 м

р_в = _вgz = 10009,81500010^-6 = 49,05 МПа,

где _в =1000 кг/м³ - плотность воды.

Целесообразность такого приема следует из того, что при отсутствии давления на устье относительное (безразмерное) статическое давление в скважине численно равно относительной плотности бурового раствора, так как

(37)

где ₀ - относительная плотность бурового раствора.

При приведении давлений к статическому безразмерному виду необходимо ввести поправку на максимальные колебания гидродинамического давления в затрубном пространстве относительно статического при различных технологических операциях. Принимаем эти колебания симметричными, т.е. равными +р. Тогда расчетная формула, записанная для относительной плотности бурового раствора, принимает вид

_0i = (р_i + р) /р_в, (38)

где _0i и р_i - предельные плотность и давление бурового раствора в рассматриваемом расчете.

Из предельных величин, ограничивающих давление в скважине сверху, величина р вычитается, а к предельным давлениям, ограничивающему давление в скважине снизу, прибавляется:

_0в = (р_sв - р) /р_в; (39)

_0н = (р_sн + р) /р_в; (40)

_0гр = (р_гр - р) /р_в; (41)

_0с = р_сс/р_в. (42)

Неравенства (34) и (35) в этом случае можно переписать в виде:

_0н < ₀ < _0в; (43)

_0с < ₀ < _0гр. (44)

Результаты расчетов по формулам (39), (40), (41) и (42) свести в табл. 7.

Таблица 7