Задачи по графам от Владимира Трушкова

(-8, 34, 39, 44-50)

1. (32 Утюм)

В графе 34 вершины, степень каждой не менее 4, и для каждой вершины есть еще ровно одна вершина той же степени. Докажите, что в этом графе есть три вершины попарно соединенные вершинами.

В младшей группе было попроще.

В компании 34 человека, причем ровно двое имеют по четыре знакомых, ровно двое - по пять знакомых, ... , ровно двое имеют по 20 знакомых. Докажите, что в этой компании найдется трое попарно знакомых.

Решение. Рассмотрим вначале "минимальный" случай, когда в графе есть две вершины степени 4, две вершины степени 5 ,..., две вершины степени 20.

Следовательно, всего ребер 204.

Удалим 12 вершин с наименьшими степенями. Предположим, что ребер между ними не было. Значит, останется ребер не меньше 204-2*(4+5+6+7+8+9)=126.

Но в графе с 22 вершинами не может быть треугольников, только если ребер не больше 121.

Значит, в этом "минимальном" случае треугольник есть.

Теперь модифицируем решение, чтобы оно прокатывало во всех случаях. Пусть степени вершин v_1,v_1,v_2,v_2,...,v_17,v_17.

Удалим 12 вершин. В самом плохом случае (когда все ребра из удаленных вершин шли к оставшимся) останется

2*(v_1+v_2+...+v_17)/2-2*(v_1+v_2+v_3+v_4+v_5+v_6)=v_7+..._v_17-(v_1+...+v_6).

v_7 больше v_1 хотя бы на 6,

v_8 больше v_2 хотя бы на 6,

...

v_12 больше v_6 хотя бы на 6

v_13 не меньше 16.

v_14 не меньше 17

v_15 не меньше 18

v_16 не меньше 19

v_17 не меньше 20

Значит, вся эта конструкция не меньше 6*6+16+17+18+19+20=126.

2. (2 Колм.)

В некотором государстве (n^2-n+2)/2 городов. Любые два города соединены либо проселочной, либо шоссейной дорогой. Докажите, что путешественник сможет, пользуясь дорогами только одного типа, посетить n городов, побывав в каждом из них по одному разу.

Решение. Докажем по индукции. Для n=2 утверждение верно.

Пусть оно верно для n=k. Докажем, что оно верно и для n=k+1.

В этом случае в государстве ((k+1)^2-(k+1)+2)/2=(k^2+k+2)/2 городов.

По предположению индукции найдется одноцветная "линейка" из k городов.

Удалим из нашего графа эти k вершин со всеми выходящими из них ребрами. Останется (k^2-k+2)/2 вершин. Но по предположению индукции в графе с таким количеством вершин опять же найдется одноцветная "линейка" из k вершин.

Пусть цвета "линеек" различны. Рассмотрим по одной концевой вершине каждой из "линеек". Они соединены ребром какого-то цвета. Но тогда добавим это ребро к одной из "линеек" и получим одноцветную "линейку" из k+1 вершины.

Пусть цвета "линеек" одинаковы. Пусть существует ребро того же цвета между какими-нибудь двумя вершинами "линеек". Пусть оно соединяет вершины a и b соответственно первой и второй "линейки". Тогда от одного из концов первой "линейки" до вершины a минимум [k/2] ребер. И от одного из концов второй "линейки" до вершины b минимум [k/2] ребер. Но тогда мы можем получить "линейку" из 2*[k/2]+1 ребра (добавлено ребро, идущее между "линейками"). Так как в получившейся "линейке 2*[k/2]+1>=(k-1)+1=k ребер, то в ней минимум k+1 вершина.

Ну, а если нет между "линейками" ребра того же цвета, то все ребра между ними другого цвета, и мы сможем найти "линейку" второго цвета длины аж 2k.

А вот интересно, на сколько можно уменьшить число (n^2-n+2)/2 ?