2. Нормальная линейная модель парной регрессии

Нормальная, или классическая, линейная модель парной реn грессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из слеГ дующих предположений:

1) факторный признак x_i является неслучайной или детермиn

11

i

;

нированной величиной, не зависящей от распределения слуn чайной ошибки уравнения регрессии 

2) математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:



( _i )0,

где i1,n;

3) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии являетn ся постоянной для всех наблюдений:

i





D( _i )( ² )G² const;

4) случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированы между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:









Cov( _i, _j )( _{i j} )0, где i j.

Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

5) основываясь на 3 и 4nм предположениях, добавляется услоn вие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии являетn ся случайной величиной, подчиняющейся нормальному закоn ну распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией



G² / _i ~N(0,G²).

Исходя из указанных предпосылок нормальную линейную моГ дель парной регрессии можно записать в следующем виде:







y_i ₀ ₁x_i _i, (1)

_{где yi — значения зависимой переменной,} i1,n; x_i — значения независимой переменной;

 

— коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие

оценке;



_i — случайная ошибка уравнения регрессии.

12



















1

Матричная форма нормальной линейной модели парной регрессии:

Y = X + , (2)

где

_y 









^Y y2 _yn 

— вектор значений зависимой переменной размер ности n 1;

₁ X ¹



₁

_x1 ^x2 



^x_n 

— вектор значений независимой переменной размерности n . Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии паn



раметр умножается на 1;

 



0

 

__1



2



1

^^__





_n 

— вектор коэффициентов уравнения регресn сии размерности 2 ;

— вектор случайных ошибок уравнения регресn сии размерности n .

Предположения о модели, записанные в матричном виде:

1) факторный признак x является неслучайной или детермиn нированной величиной, не зависящей от распределения слуn чайной ошибки уравнения регрессии ;

2) математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:



0



⁰





( ) 0;



⁰