Электромагнетизм Основные законы и формулы
1. Закон
Био-Савара-Лапласа. Магнитная индукция
поля, созданного элементом тока
,
в точке, удалённой от элемента тока на
расстоянии r:
а) в векторной форме
;
б) в скалярной форме
где
–
магнитная постоянная (
Гн/м);
– магнитная проницаемость среды (для
вакуума
).
2.
Магнитная индукция
связана с напряжённостью
магнитного поля соотношением
3. Магнитная индукция в центре кругового проводника с током I
где R – радиус кривизны проводника.
4. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током I
где r0 – расстояние от оси проводника до точки, где находим магнитную индукцию.
5. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника (рис. 14)
,
Рис. 14
где
– расстояние от точки А до проводника;
и
– углы между направлением тока и
радиус-векторами, проведёнными в точку
А из начала и конца проводника.
6. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным соленоидом в средней его части (или тороида на его оси)
где n – число витков на единицу длины.
7. При
наложении магнитных полей (в соответствии
с принципом суперпозиции магнитных
полей) магнитная индукция
результирующего поля равна векторной
(геометрической) сумме магнитных
индукций
…
складываемых полей
8. Сила, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле (закон Ампера):
а) в векторной форме
б) в скалярной форме
где
– длина проводника;
– угол между направлением тока в
проводнике и вектором магнитной индукции
.
9. Сила взаимодействия параллельных проводников с током
где d
– расстояние между проводами;
– длина проводника (
).
10. Механический момент, действующий на контур с током, помещённый в однородное магнитное поле:
а) в векторной форме
,
б) в скалярной форме
где
– вектор магнитного момента контура
с током, модуль которого равен произведению
силы тока I в контуре
на площадь S, охватываемую
этим контуром
;
– угол между векторами
и
.
11. Сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией (сила Лоренца):
а) в векторной форме
б) в скалярной форме
где – угол, образованный вектором скорости движения частицы и вектором индукции магнитного поля.
12. Магнитный поток:
а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности
или
где S – площадь контура; – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции; Bn – проекция вектора на нормаль к площадке контура;
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
где интегрирование
ведётся по всей поверхности,
–
вектор, модуль которого равен площади
элемента поверхности dS,
и направленный по нормали к элементу
поверхности.
13. Работа по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле
где
– изменение магнитного потока, вызванного
перемещением контура.
14. Количество электричества, протекающего по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур
где R – сопротивление контура.
15. Потокосцепление (полный поток)
,
где L – индуктивность контура; N – число витков контура.
16.
Основной закон электромагнитной
индукции (закон Фарадея-Максвелла):
электродвижущая сила
индукции, возникающая в замкнутом
контуре, пропорциональна скорости
изменения магнитного потока со временем
где N – число витков контура.
17. Индуктивность контура
18. Э.Д.С.
самоиндукции в контурах, расположенных
в не ферромагнитных средах (
)
19. Индуктивность бесконечно длинного соленоида ( )
где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V – объём соленоида; – длина соленоида; d – диаметр соленоида.
20. Энергия магнитного поля, сцеплённого с контуром
21. Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия заключённая в единице объёма)
,
где H – напряжённость магнитного поля; В – индукция магнитного поля.
Пример
15. Два параллельных бесконечно длинных
провода, по которым текут токи
А,
расположены на расстоянии
см
друг от друга. Определить индукцию
магнитного поля в точке, отстоящей от
одного проводника на расстояние
см
и от другого на
см.
Дано:
А;
см
= 0,1 м;
см
= 0,05 м;
см = 0,12 м.
Найти: B.
Решение:
Для нахождения индукции магнитного
поля
в
указанной точке А (рис. 15) определим
направления векторов индукций
и
полей, создаваемых каждым проводником
в отдельности, и сложим их геометрически
(по правилу параллелограмма):
Направление векторов и определяем по правилу правого винта: вращая винт по направлению линии магнитной индукции, его поступательное движение укажет направление силы тока.
Рис. 15
Абсолютное значение индукции В найдём по теореме косинусов:
(1)
где
– угол между векторами
и
,
равный углу между радиус–векторами
и
,
как углы со взаимно перпендикулярными
сторонами.
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током определяется формулой:
где = 1 (среда – вакуум).
Тогда от двух рассматриваемых проводников магнитные индукции соответственно равны:
и
Подставляя
значения
и
в формулу (1) и вынося
за знак корня, получим:
(2)
Вычислим
,
используя, что
.
Согласно теореме косинусов запишем:
Отсюда
Подставляя данные, вычислим значение :
Вычислим согласно формуле (2) магнитную индукцию поля в точке А:
=308
мкТл.
Ответ:
мкТл.
Пример
16. В однородном магнитном поле с
индукцией 0,
равномерно вращается рамка, содержащая
1000 витков. Площадь рамки
S
= 150 см2. Рамка делает 10 об/с.
Определить мгновенное значение Э.Д.С.,
соответствующее углу поворота рамки
в
,
учитывая, что направления магнитного
поля и оси вращения рамки совпадают.
Дано:
;
N=1000;
;
;
Найти:
Решение:
Мгновенное значение ЭДС индукции определяется по закону Фарадея
Рис. 16
При вращении рамки (рис. 16) магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, изменяется со временем по закону:
,
где
– угол между вектором
и
вектором нормали
к плоскости рамки
или
,
где
– угол поворота рамки в момент времени
t.
Продифференцировав выражение мгновенного магнитного потока по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции:
Учитывая,
что циклическая частота
,то
Заменив
на
,
получим:
Выполним вычисления:
В.
Ответ:
