Молекулярная физика. Термодинамика Основные законы и формулы
1.Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева- Клапейрона)
где p, V
– давление и объём, занимаемый данной
массой газа; m,
– масса и молярная масса газа; R
– универсальная газовая постоянная;
T
– термодинамическая температура
К;
t – температура по
шкале Цельсия;
– количество вещества.
2. Для смеси газов справедлив закон Дальтона
где
– парциальное давление
компонента смеси; k
– число компонентов смеси.
3.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
или
где
– масса одной молекулы; n
– концентрация молекул;
– средняя квадратичная скорость
молекул;
– средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул.
4. Средняя кинетическая энергия молекулы (с учётом поступательного и вращательного движений)
где i – число степеней свободы (для одноатомной молекулы i=3(пост.); для двухатомной молекулы i=5 (3 пост. + 2 вращ.); для трех- и более атомной молекулы i=6 (3 пост.+ 3 пост.)); k – постоянная Больцмана.
5. Скорость молекул:
средняя квадратичная
средняя арифметическая
,
наиболее вероятная
;
.
6. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
7. Теплоёмкость системы (тела)
,
где
– количество теплоты, сообщённое
системе (телу);
– изменение температуры системы (тела),
вызванное сообщением этого количества
теплоты.
8. Молярная и удельная теплоёмкости
;
.
9. Молярные
теплоёмкости идеального газа при
постоянном объёме
и
постоянном давлении
;
.
10. Соотношение между молярной и удельной теплоёмкостями
11. Удельные
теплоёмкости при постоянном объёме
и постоянном давлении СP
уд
СV
уд
;
СР уд
.
12. Отношение теплоёмкостей (показатель адиабаты)
13. Внутренняя энергия идеального газа массой m при температуре Т
14. Первое начало термодинамики
где Q –
количество теплоты, сообщённое газу в
рассматриваемом процессе;
– изменение внутренней энергии в данном
процессе;
А – работа газа над
внешними силами.
15. Работа, совершаемая газом, при изменении его объёма
где
и
– начальный и конечный объём
соответственно.
16. Для любого процесса, происходящего с идеальным газом, изменение внутренней энергии рассчитывается по одной и той же формуле
.
17. Количество теплоты и работа, совершаемая газом, зависит от вида процесса.
• Изотермический
процесс: T= const;
=
0;
;
.
• Изохорический
процесс: V= const;
;
;
.
• Изобарический процесс Р = const;
,
• Адиабатный процесс – процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой:
Q адиаб = 0,
А
адиаб =
или
А адиаб =
,
где γ – показатель адиабаты.
18. В адиабатном процессе изменяются все параметры идеального газа: P,V и T. Уравнения адиабатного процесса имеют вид уравнений Пуассона
;
;
.
19. КПД тепловой машины:
• любой
• идеальной, работающей по циклу Карно
где А – полезная работа;
и
– соответственно количество теплоты,
полученное от нагревателя и отданное
холодильнику;
и
– соответственно температуры нагревателя
и холодильника.
20. Средняя длина свободного пробега молекул газа
где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул в единице объёма.
21. Закон Фика для диффузии
где
m
– масса вещества, диффундирующей
через площадку S,
перпендикулярную оси X,
за время
t
при градиенте плотности
;
D – коэффициент
диффузии вещества.
22. Сила внутреннего трения
где F – сила
внутреннего трения между движущимися
слоями газа или жидкости;
– градиент скорости течения слоёв, в
направлении перпендикулярном течению
слоёв;
– динамическая вязкость (коэффициент
внутреннего трения).
23. Закон Фурье для теплопроводности
где ΔQ –
количество теплоты, переносимой через
площадку S,
перпендикулярную оси X,
за время Δt при
градиенте температуры
;
λ – коэффициент теплопроводности.
24. Коэффициенты явлений переноса для газа:
а) диффузии
,
б) динамической вязкости
,
в) теплопроводности
,
где
– плотность газа;
– удельная теплоёмкость газа при
постоянном объёме,
Пример 7.
В сосуде
л
содержится 10 г азота
и 20 г углекислого газа
при
К.
Определить молярную массу смеси и
давление смеси до и после её нагревания
до температуры 400 К.
Дано:
л
=
;
г
= 0,01 кг;
г
= 0,02 кг;
К.
Найти: р; ; р/ ( T / = 400 K ).
Решение:
Согласно закону Дальтона
(1)
Запишем
парциальные давления газа азота
и углекислого газа
,
используя уравнение состояния:
,
(2)
(3)
Согласно таблице Менделеева Д.И.
г/моль
= 28∙10 –3 кг/моль
г/моль
= 44∙10 –3 кг/моль
Подставив (2) и (3) в (1), получим
Выполним вычисления p до нагревания6
Па.
Молярная масса смеси
Выполним вычисления :
кг/моль.
Так как объём смеси не изменяется, то уравнение состояния газа можно записать в виде
Тогда
Найдем давление смеси после её нагревания:
Па.
Ответ:
Па;
кг/моль;
Па.
Пример 8. Найти
КПД тепловой машины работающей по
циклу, состоящего из двух изохор и двух
изобар, если известно что
Дж/(К∙моль).
Дано:
;
;
Дж/(К∙моль).
Найти: .
Решение:
Изобразим
цикл, по которому работает тепловая
машина в координатах
( рис. 7).
Рис. 7
Согласно рис.7
По определению КПД
Работа тепловой машины за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной кривой цикла. В данной задаче работа численно равна площади прямоугольника. Тогда
так как
Используя
уравнение состояния
,
выражение для работы газа примет вид:
(1)
В процессах 1–2 и 2–3 рабочее тело получает количество теплоты, так как с газом происходит изохорное нагревание и изобарное расширение. Тогда
В процессах 3 – 4 и 4 – 1 рабочее тело машины отдаёт количество теплоты, так как с газом происходит изохорное охлаждение и изобарное сжатие.
Распишем
согласно изопроцессам
(2)
Используя
уравнение состояния
,
определим температуры
и
:
1) в процессе 1 – 2 (V1 = V2 изохорный процесс)
или
;
(3)
2) в процессе 2 – 3 (Р2 = Р3 изобарный процесс)
или учитывая, что V3 = 2V2 получим
(4)
Молярные теплоёмкости в изобарном и изохорном процессах:
(5)
Подставим (3), (4), (5) в (2):
(6)
Подставим (6) и (1) в выражение для определения :
Выполним вычисления:
или
.
Ответ: .
Пример 9.
Коэффициенты диффузии и внутреннего
трения водорода при некоторых условиях
равны соответственно:
см2/с
и
(Н∙с)/м2. Найти число молекул
водорода в 1 м3 при этих условиях.
Дано:
м2/с;
(Н∙с)/м2.
Найти: n.
Решение:
Коэффициент динамической вязкости и диффузии для газа определяются по следующим формулам:
(1)
(2)
Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим
(3)
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, соотношение для плотности газа
(4)
и следствие из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов,
(5)
получим
(6)
Известно, что постоянная Больцмана
(7)
где Na – число Авогадро.
Следовательно,
(8)
Подставив уравнение (8) в выражение (3), получим:
Выполним вычисления:
м
–3
Ответ:
м
–3.