Примеры решения задач
Пример
1. Движение материальной точки задано
уравнением
,
где А= 4 м/с, В = – 0,05 м/с2.
Определить момент времени, в который
скорость
точки равна нулю. Найти координату и
ускорение в этот момент.
Дано:
;
м/с;
–
0,05 м/с2.
Найти:
1) t
;
2) x; 3) a.
Решение: Материальная точка совершает одномерное, прямолинейное движение вдоль оси x, уравнение которого имеет вид:
Мгновенная скорость материальной точки – есть первая производная от координаты по времени
Определим момент времени t, в который скорость точки равна нулю:
,
,
,
.
Подставим числовые значения
с.
Определим координату в момент времени t= 40 c:
м.
Мгновенное ускорение материальной точки – есть первая производная от проекции скорости на ось x по времени
Выполним вычисления:
–
0,1 м/с2.
Ответ: t = 40 c; x = 80 м; а = – 0,1 м/с2.
Пример
2. Диск радиусом r
= 20 см вращается согласно уравнению
где
;
;
.
Определить тангенциальное
,
нормальное
и полное
ускорения точек на окружности диска
для момента времени
с.
Дано:
;
;
;
;
см
= 0,2 м ;
с.
Найти:
Решение: В задаче дано уравнение движения диска в проекции на ось вращения
Угловая скорость диска
Угловое ускорение диска
.
Связь между линейной и угловой скоростями
Тогда линейная скорость диска
Выполним
вычисления
для момента времени
с:
=( – 1+3·0,1·102)·0,2 = 5,8 м/с.
Связь между тангенциальным и угловым ускорениями
.
Тогда
Выполним
вычисления
для момента времени
с:
м/с2.
Модуль нормальной составляющей ускорения
.
Произведем
вычисления
:
м/с2.
Модуль полного ускорения a
Выполним вычисления а:
м/с2.
Ответ:
м/с2 ;
м/с2;
м/с2.
Пример
3. Три четверти своего пути автомобиль
прошёл со скоростью
,
остальную часть пути – со скоростью
.
Какова средняя путевая скорость
автомобиля
?
Дано: 1 = 60 км/ч; 2 = 80 км/ч.
Найти: .
Решение: Средняя путевая скорость твёрдого тела равна отношению пути к тому промежутку времени, за которое пройден этот путь
.
Весь
путь движения автомобиля S
целесообразно разделить на два участка
и
.
Время движения автомобиля на первом участке равно
,
(1)
а на втором участке –
.
(2)
Тогда средняя путевая скорость равна
.
(3)
Подставив выражения (1) и (2) в формулу (3), получаем
.
Подставим числовые значения и выполним вычисления:
км/ч.
Ответ: = 64 км/ч.
Динамика материальной точки Основные законы и формулы
1.
Импульс материальной точки массой m,
движущейся со
скоростью
2. Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)
,
где
– геометрическая сумма сил, действующих
на материальную точку; N
– число сил, действующих на точку.
При m = const ( масса не зависит от скорости) второй закон Ньютона имеет вид
или
где – вектор ускорения.
3. Основное уравнение динамики в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
,
.
4. Сила
гравитационного взаимодействия
материальных точек массами
и
,
находящихся на расстоянии r
друг от друга
где G – гравитационная постоянная.
5. Сила тяжести
,
где
– ускорение свободного падения.
6. Сила упругости
,
где k – коэффициент упругости; x – абсолютная деформация.
7. Сила трения скольжения
,
где
– коэффициент трения скольжения; N
– сила нормального давления.
8. Работа, совершаемая постоянной силой
или
где
– угол между направлениями векторов
силы
и перемещения
9. Работа, совершаемая переменной силой на участке траектории L
,
где интегрирование
ведётся вдоль траектории L;
– элементарный путь.
10. Мгновенная мощность в поступательном движении
или
где
– угол между векторами силы
и скорости
11.
Кинетическая энергия материальной
точки, движущейся поступательно со
скоростью
,
определяется
или
12.
Потенциальная энергия материальной
точки находящейся в однородном поле
силы тяжести (
=
const)
,
где h – высота материальной точки над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии; g – ускорение свободного падения.
13. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)
14. Закон сохранения импульса замкнутой системы
или
где N – число материальных точек входящих в систему.
15. Момент инерции относительно оси вращения:
материальной точки
где m – масса материальной точки, r – расстояние от неё до оси вращения.
системы материальных точек
где
– масса
материальной
точки,
– расстояние от этой точки до оси
вращения.
твердого тела
,
где dm
и dV – масса и объём
элемента тела, находящегося на расстоянии
r от оси Z,
– плотность тела в данной точке.
Таблица 2
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы
Тело |
Ось, относительно которой определяется момент инерции |
Формула момента инерции |
однородный тонкий стержень массой m и длиной l |
Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему
Ось проходит через конец стержня перпендикулярно ему |
|
тонкое кольцо, труба радиусом R и массой m |
Ось симметрии |
|
сплошной однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m |
Ось симметрии |
|
однородный шар массой m и радиусом R |
Ось проходит через центр шара |
|
16. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси
,
где
– момент инерции тела относительно
оси, параллельной данной и проходящей
через центр масс; m
– масса тела; a
– расстояние между произвольной осью
и параллельной осью, проходящей через
центр масс тела.
Момент
силы
относительно точки О равен векторному
произведению
и
,
где
– радиус-вектор, проведённый из точки
О в точку приложения силы (рис. 3).
Модуль момента силы
,
где d – плечо силы – величина, равная кратчайшему расстоянию от точки вращения О до линии действия силы.
Рис. 3
18. Момент импульса твердого тела относительно оси Z
,
где
– момент инерции твёрдого тела
относительно оси Z;
– угловая скорость твёрдого тела
относительно оси Z.
19. Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки О
,
где
– момент импульса твёрдого тела;
– результирующий момент внешних сил.
В проекции на ось Z
,
где
– момент инерции твёрдого тела
относительно оси Z;
– угловое ускорение относительно оси
Z.
20. Закон
сохранения момента импульса для замкнутой
системы, когда результирующий момент
внешних сил равен нулю (
)
или
где
– момент инерции твёрдого тела
относительно оси Z;
– угловая скорость относительно оси
Z.
21.Работа внешних сил при вращении твёрдого тела относительно оси Z
где
– угол, на который поворачивается тело
за время t;
– проекция момента силы на ось Z.
22.
Работа постоянного момента силы
23. Мгновенная мощность во вращательном движении
24. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z
,
где Iz
– момент инерции тела относительно оси
Z;
– угловая скорость тела.
25. Кинетическая энергия плоского движения
,
где
– момент инерции тела относительно
оси, проходящей через центр масс;
– линейная скорость центра масс.
26. Приращение кинетической энергии
где
– работа всех сил, действующих на тело.
27. Убыль потенциальной энергии в поле
где – работа сил поля.
28. Приращение полной механической энергии
где – работа результирующей всех сторонних сил, то есть сил, не принадлежащих к силам данного поля.
Пример
4. Наклонная плоскость, образующая
угол
с плоскостью горизонта, имеет длину
.
Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло
с этой плоскости за время
.
Определить коэффициент трения
тела о плоскость.
Дано:
;
м;
с.
Найти:
Решение: Изобразим силы, действующие на тело (рис. 4)
Рис. 4
где
– сила тяжести,
– сила нормального давления,
– сила трения.
Для решения задачи используем второй закон Ньютона
а) в векторной форме
б) в скалярной форме
в проекции на ось ox:
,
в проекции на ось oy:
Получили систему уравнений
(1)
Сила
трения
Тогда
(2)
Выразим Fтр из системы уравнений (1):
(3)
Подставим (3) в (2):
(4)
В случае равноускоренного поступательного движения координата x:
Так
как по условию
,
то путь пройденный телом
S
= x – x0:
Выразим :
(5)
Подставим (5) в (4):
Выполним вычисления:
Ответ:
Пример
5. Маховик вращается по закону,
выражаемому уравнением
,
где
рад;
В = 16 рад/с; С = 2 рад/с2. Момент
инерции маховика равен
.
Найти законы, по которым изменяются
вращающий момент и мощность. Чему равна
мощность в момент времени
с.
Дано:
;
рад;
;
;
I
= 50 кг∙м2.
Найти:
(t
= 3 с).
Решение: Маховик вращается согласно закону
.
По основному уравнению динамики вращательного движения модуль момента силы
Мгновенная мощность
.
Определим выражение для угловой скорости:
Определим выражение для углового ускорения:
Выполним
вычисление
:
рад/с;
рад/с2
= const.
Законы, по которым меняются:
а) вращающий момент
;
б) мгновенная мощность
Выполним вычисления:
Н∙м,
Вт.
Ответ:
N = 5600 Вт.
Пример
6. Горизонтальная платформа массой
кг вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр платформы, с
частотой
.
Человек массой
стоит при этом на краю платформы. С какой
угловой скоростью
начнёт вращаться платформа, если человек
перейдёт от края платформы к её центру?
Считать платформу круглым однородным
диском, а человека – материальной
точкой.
Д
ано:
кг;
кг;
мин –1=
с –1.
Найти:
Решение: Воспользуемся законом сохранения момента импульса относительно оси Z:
или
Р
ассмотрим
два случая:
а) человек на краю платформы б)человек в центре платформы
(рис.5); (рис.6);
Рис.5 Рис.6
где
– угловая скорость платформы и человека
в первом случае.
где
R – радиус платформы.
где
– угловая скорость платформы и человека,
после того как он перешёл в центр
платформы.
Согласно закону сохранения момента импульса
Тогда
Сократим
на
и учтём, что
:
Выразим
.
Выполним вычисления:
рад/с2.
Ответ:
рад/с2.