Основные законы и формулы

1. Обобщённая формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода

где – частота спектральных линий в спектре атома водорода; R – постоянная Ридберга ( с^–1); m – определяет серию (m=1, 2, 3,…); n – определяет отдельные линии соответствующей серии, (n=m+1, m+2,…); (серия Лаймана); (серия Бальмера); (серия Пашена); (серия Брэкета); (серия Пфунда); (серия Хэмфри).

Для водородоподобных атомов, то есть ионизированных атомов, электронная оболочка которых содержит один электрон

где Z – зарядовое число атома.

2. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

где – масса электрона; – скорость электрона по орбите радиусом ; – постоянная Планка с чертой ( Джс).

3. Второй постулат Бора (правило частот)

где и – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения).

При – излучение кванта, – поглощение кванта.

4. Длина волны де-Бройля (любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны )

где р – импульс частицы;

• в классическом приближении ( ) – ;

• в релятивистском случае ( сравнима со скоростью света в вакууме с) –

5.Связь длины волны де-Бройля с кинетической энергией Т частицы

• в классическом приближении

• в релятивистском случае

где Е₀ – энергия покоя частицы ( ).

6. Закон радиоактивного распада

,

где – количество нераспавшихся ядер в начальный момент времени ; – количество нераспавшихся ядер по истечении времени t; – постоянная радиоактивного распада.

7. Зависимость периода полураспада (промежуток времени, в течении которого количество нераспавшихся ядер уменьшается в 2 раза) от постоянной распада

.

8. Активность радиоактивного изотопа

, или ,

где – количество ядер, распадающихся за интервал времени ; – количество ядер, содержащихся в радиоактивном изотопе; – активность изотопа в начальный момент времени .

9. Удельная активность радиоактивного изотопа

,

где – масса изотопа.

10. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

A=N+Z,

где Z – зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре; N – число нейтронов в ядре ( символ ядра ).

11. Дефект массы ядра (разность между массой частиц, составляющих ядро, и массой самого ядра)

где – масса покоя протона; – масса покоя нейтрона; – масса покоя ядра ( ).

12. Энергия связи нуклонов в ядре

где – дефект массы ядра; – масса покоя изотопа водорода ; – масса покоя атома.

Если энергию связи ядра выразить в несистемных единицах (МэВ), а дефект массы в а.е.м. (атомных единицах массы), то коэффициент пропорциональности равен (с²=931,5 МэВ/а.е.м.).

13. Энергия ядерной реакции

где – сумма масс покоя ядер частиц до реакции; – сумма масс покоя ядер частиц после реакции; – сумма кинетических энергий частиц до реакции; – сумма кинетических энергий частиц после реакции.

Если > , то реакция идёт с выделением энергии (экзотермическая реакция). Если < , то реакция идёт с поглощением энергии (эндотермическая реакция).

Пример 26. Определить частоту света, излучаемого возбуждённым атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.

Дано: ; .

Найти: .

Решение: Согласно обобщённой формуле Бальмера, частота света, излучаемого атомом водорода

(1)

где R – постоянная Ридберга ( с^–1); m – номер орбиты, на которую переходит электрон; n – номер орбиты, с которой переходит электрон.

Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности радиусом под действием кулоновской силы (рис. 21)

(2)

Рис. 21

где – масса электрона ( кг); – скорость электрона на орбите; е – заряд электрона ( Кл).

Согласно теории Бора, момент импульса электрона, движущегося по орбите

(3)

где – постоянная Планка

Решая уравнения (2) и (3), получим:

(4)

Из выражения (4) и условия задачи следует, что

(5)

Так как , тогда

Отсюда, , то есть электрон перешёл с 6 на 2 энергетический уровень.

Подставляя в выражение (1) числовые данные, получим:

с^–1.

Ответ: с^–1.

Пример 27. Определить длину волны де-Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Дано: кВ = В.

Найти: .

Решение: Связь длины волны де-Бройля частицы с импульсом:

где – постоянная Планка с чертой ( Джс).

Импульс частицы можно выразить различным способом в зависимости от случая:

для классической частицы

для релятивистской частицы

где – масса покоя, Т – кинетическая энергия частицы, – энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U

Подставляя числовые данные, вычислим Т:

Дж.

Переведём кинетическую энергию в эВ:

эВ = 0,7 МэВ.

Энергия покоя электрона МэВ, то есть в данном случае электрон является релятивистской частицей, так как . Тогда длина волны де-Бройля:

где с – скорость света в вакууме ( м/с).

Подставляя числовые данные, получим:

=1,1310^-12 м = 1,13 пм.

Ответ: пм.

Пример 28. Определить энергию ядерной реакции Освобождается или поглощается энергия?

Дано: ; а.е.м.; а.е.м.; а.е.м.; а.е.м.

Найти: Q.

Решение: Энергия ядерной реакции определяется выражением:

где – массы ядер бериллия и водорода; – массы ядра бора и нейтрона; – коэффициент ( ).

При числовом расчёте массы ядер заменим массами нейтральных атомов. Легко убедиться, что такая замена не повлияет на результат вычисления, так как масса ядра равна разности между массой атома и массой Z электронов . Тогда

где – массы нейтральных атомов бериллия и водорода; – массы нейтрального атома бора и нейтрона.

Подставляя числовые данные, получим:

МэВ.

Так как , то реакция идёт с освобождением энергии, то есть реакция экзотермическая.

Ответ: МэВ; реакция экзотермическая.