3. Методические указания к выполнению задания 2

Логические операции и таблицы истинности

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

F = A & B. Логическое умножение  КОНЪЮНКЦИЯ  - результат будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений Соответствует союзу И Обозначение & , ^ В языках программирования and

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

F = A + B  Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ – результат будет истинным тогда и только тогда, когда  истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция соответствует союзу ИЛИ Обозначение V. В языках программирования or.

A	неА
1	1
1	0

Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, Операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО Соответствует союзу НЕ Обозначение Ā, ¬А В языках программирования not

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Логическое следование:  ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом  "следовательно"  и  выражается словами ЕСЛИ … , ТО … Обозначение А→В В языках программирования if … then

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Соответствует обороту тогда и только тогда, когда … Обозначение А≡В, А~B

 Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:1. Инверсия 2. Конъюнкция 3. Дизъюнкция 4. Импликация 5. Эквивалентность.  

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

 Построение таблиц истинности логических выражений

1. Определить количество строк в таблице по формуле 2ⁿ, где n – количество логических переменных.

2. Определить количество столбцов таблицы: количество логических переменных + количество логических операций.

3. Построить таблицу истинности, обозначить столбцы, внести всевозможные наборы исходных данных логических переменных.

4. Заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности.

Пример задания

Построение таблицы истинности для F = (A V B) & (¬A V (¬B))

Количество строк таблицы: 2² = 4, т.к. в формуле две переменные

А и В.

Количество столбцов: 2 переменные + 5 логических операций =7.

A	B	A V B	¬A	¬B	¬AV (¬B)	F
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Построение логических функций по таблице истинности

Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

Правила построения логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.

2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.

4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Пример задания

Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X,Y):

X	Y	Z
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.

1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1.

2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов:( )V( ).

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишим в виде конъюнкции аргументов функции X и Y: (X & Y) V (X & Y).

4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию: Ответ : Z (X, Y) =(¬ X & ¬Y) V (X & ¬Y).

Правильный ответ – 4 балла.

Решение, поясняющее правильный ответ – 6 баллов.