Пример расчета линейного коэффициента корреляции.
По данным о стоимости произведенной продукции и величине накладных расходов по 12 предприятиям, получены следующие данные:
№ п/п |
|
|
|
|
|
1 |
1,54 |
0,086 |
0,13244 |
2,3716 |
0,007396 |
2 |
1,60 |
0,091 |
0,1456 |
2,560 |
0,008281 |
……….. |
|
|
|
|
|
………… |
|
|
|
|
|
12 |
2,0 |
0,109 |
0,218 |
4,0 |
0,011881 |
|
|
|
|
|
|
=2,1486
;
;
;
;
На практике, если
≤0,4,
то связь изучать нецелесообразно.
Полученный линейный коэффициент корреляции может испытывать на себе значительное влияние случайных факторов, способных исказить его величину. Поэтому возникает необходимость проверить его на существенность (значимость). Под существенностью линейного коэффициента корреляции следует понимать возможность распространить выводы, полученные на основе наблюдения ограниченной совокупности на всю генеральную совокупность.
Одним из условий
применения предлагаемых критериев
существенности является нормальное
распределение признака фактора в
исходной совокупности, т.е. соблюдение
неравенства
Существуют различные методы оценки существенности коэффициента корреляции.
При большом объеме выборки, отобранной из исходной нормально распределенной совокупности, можно считать, что линейный коэффициент корреляции отражает истинное положение связи, если соблюдается неравенство:
,
где
.
При парной корреляции
коэффициент детерминации представляет
собой отношение дисперсии, обусловленной
влиянием факторного признака, лежащего
в основе группировки, т.е. межгрупповой
дисперсии-
,
к общей дисперсии, измеряющей всю
колеблемость
Это отношение показывает, какую долю
общей дисперсии составляет дисперсия,
обусловленная влиянием изучаемого
фактора, т. е.
.
Величина
является
коэффициентом остаточной детерминации
и характеризует долю вариации за счет
неучтенных факторов.
Предельная ошибка
линейного коэффициента корреляции-
;
t-
коэффициент кратности, величина которого
зависит от принятой вероятности. Величина
t-
выбирается по таблице вероятности для
нормального распределения.
Доверительный
интервал для коэффициента корреляции
записывается в следующем виде:
При малых объемах выборки (
и линейном коэффициенте корреляции
близком к 1, использование средней
квадратической ошибки, по предыдущей
формуле (
невозможно,
т.к. распределение может отличаться от
нормального. В этом случае выдвигается
гипотеза, что в генеральной совокупности
Тогда,
.
Полученную величину
сравнивают с
.
Для входа в таблицу используют число
степеней свободы (при линейной зависимости
k=n-2)
и выбранным уровнем значимости-
.
Если
,
то практически невероятно, что
обусловлен только случайностями выборки,
т.е.
является
существенным. Если же
.,
следовательно , полученный коэффициент
корреляции является результатом случая,
а генеральной совокупности он равен
нулю (
.
Критические значения t (критерии Стьюдента) представлены в учебнике по ОТС (приложение IV), в Практикуме по ОТС приложение 6.
Выдержка из таблицы для определения критического значения критерия Стьюдента:
К / % |
10 |
5,0 |
1 |
|
12,706 |
2 |
|
4,403 |
……… |
….. |
……. |
10 (n-2) |
….. |
2,28 |
Для нашего примера
r=0,94.
;
существенен.
3) Проверку на существенность линейного коэффициента корреляции можно выполнить используя таблицу Фишера (учебник по ОТС стр. 239). В этой таблице показывается величина коэффициента корреляции, которая может считаться существенной при данном количестве наблюдений, т.е. приведены критические значения коэффициента корреляции. При использовании этой таблицы величину коэффициента корреляции следует искать для числа степеней свободы, равной
n-2. Ниже приведена выдержка из таблицы.
K=n-2 |
|
4 |
0,8114 |
8 |
0,6319 |
10 |
0,5760 |
Так как
,
то коэффициент можно признать существенным.