20.2. Законы распределения размеров (или их погрешностей)

Размеры и их погрешности в партии заготовок, обработанные по настройке есть случайные величины, и поэтому их распределение в полях рассеивания описывается законами теории вероятностей.

Знание этих законов позволяет:

- прогнозировать ход операции, своевременно вмешиваясь в него с целью не допустить брак;

- дать заключение о точностных возможностях применяемого метода обработки и их соответствия требуемой точности изготовления;

- выполнить динамическую, более оптимальную настройку режущего инструмента.

Для анализа точности обработки в технологии машиностроения находят применение следующие законы теории вероятностей (рисунок 48).

- Закон равной вероятности (рисунок 48а)

- Закон возрастающей вероятности (рисунок 48б)

- Закон треугольника (закон Симпсона) (рисунок 48в)

- Нормальный закон распределения (закон Гаусса) (рисунок 48г)

- Закон Рэлея (рисунок 48д)

Рис. 48. Законы распределения: х – случайные значения размера

τ – время; у – плотность вероятности

Верхние графики законов являются функциями распределения - интегральной формой закона, а нижние – представляют плотность вероятности – дифференциальную форму закона. Последняя обычно и используется для анализа точности обработки.

Представленные законы проявляются в зависимости от характера выполняемой операции (метод обработки, вид параметра, его действительная точность).

Так, например, закон равной вероятности описывает распределение размеров в поле рассеяния под влиянием износа резца. Закон Рэлея описывает распределение существенно-положительных погрешностей (несоосности, биения, разностенности, значения их случайных величин – ε).

20.3. Выявление закона распределения в условиях выполняемой операции

Чтобы выяснить какой закон описывает точность выполнения действительного параметра в конкретной операции, поступают следующим образом. Сначала отбирается группа N_шт заготовок. На основании результатов измерения рассчитывают регион R практического распределения размеров: R_max=A_max- A_min,

где A_max , A_min – действительные предельные значения размеров в группе. Затем величина R разделяется на участки и определяются A_i – средний размер; i – номер участка и подсчитывают количество попаданий n_i размеров в тот или иной интервал и определяют частость n_i/N. Исходя из этих данных строят гистограмму практического распределения (см. эскиз).

Рис. 49

Если увеличивать число деталей N в группе, и уменьшать размер участков, то ломаная линия гистограммы – практического распределения становится всё более плавной, приближаясь к графику математического закона, а частость n_i/N – к выражению плотности распределения Р(А), где А- случайные величины.

20.4. Анализ точности обработки с помощью нормального закона

Распределение размеров по закону Гаусса в партии заготовок, обрабатываемых по настройке, объясняется влиянием на точность только случайных погрешностей (при отсутствии среди них какой-либо доминирующей). Это связано с известным положением теории вероятностей о том , что сумма большого числа взаимно независимых случайных слагаемых при ничтожно малом и одинаковом влиянии каждой на их сумму подчиняется именно закону нормального распределения.

Анализ точности обработки с использованием закона Гаусса выполняется в такой последовательности. Получив статистические данные по группе обработанных заготовок, определяют регион R и средние значения интервалов х_iср, рассчитывают математическое ожидание М(х) и величину σ:

; ;

где обозначении всех величин приведены выше.

Зная и Б и задаваясь различными значениями х_i, рассчитывают плотность вероятности у(х) и получают кривую закона и ограничиваемую ей площадь:

.

Площадь под кривой этого закона уходит в бесконечность, что соответствует 100% возможных значений х. Но обычно в практике используется для анализа точности только площадь, ограниченная полем 6σ, т.е. ω=6σ. В интервале ±3σ находится 99,73% площади, ей и ограничиваются.

Собственно анализ точности выполняемой операции осуществляется таким образом. На график закона в том же масштабе накладывается поле допуска заданного размера (для валов). Если инструмент настраивался по среднему размеру поля допуска, т.е. х_А =А_ЗС =А_Зmax – T_A/2, то х_Н служит ориентиром для расположения поля допуска в виде ±Т_Аз/2 (см. эскиз).

О ставшиеся за границами поля допуска заштрихованные площадки представляют брак, определяемый в % к общей площади под кривой. Величину брака с высокой точностью определяют с помощью функций Лапласа, приводимых в справочниках.

Погрешность метода обработки по результатам анализа точности операции рассчитывается по формуле

ω_ГС=2Δ_Н+6σ_i=2 Δ_Н+ω_i

Рис. 50

где Δ_Н – систематическая постоянная величина;

σ_i – среднее квадратичное отклонение определяемое в данной i – ой операции;

ω_i – поле рассеивания размеров в i-ой операции.

В заключении необходимо отметить, что в условиях обработки больших партий заготовок закон Гаусса в «чистом» виде не встречается, а имеет место комбинация законов. Её выявляют построением точностных диаграмм (см. ниже).