2.3 Системы счисления. Операции над числами в разных системах счисления.

Информация, обрабатываемая процессе вычислений, может быть трех видов: числовая, логическая и текстовая. Для кодирования любой информации в ЭВМ используется двоичная система счисления, так как вычислительная техника выполнена на двухпозиционных электронных элементах. Такие элементы (двоичные индикаторы) в каждый момент времени находятся в одном из двух устойчивых состояний, которые соответствуют знакам двоичной системы счисления: единице и нулю.

Под системой счисления понимают совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора знаков.

Двоичная система счисления, также как и десятичная, является позиционной. В позиционной системе счисления количество различающихся цифр (символов) соответствует основанию системы счисления. Цифры, записанные в ряд, образуют число. "Вес" цифры зависит от занимаемой ею позиции. Число в позиционной системе счисления представляет собой сумму степеней основания, умноженных на соответствующий коэффициент, который должен быть одной из цифр данной системы счисления.

В ЭВМ используются двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Применение двоичной системы счисления позволяет упростить построение машины. Двоичная система счисления включает две цифры: 0 и 1. В общем виде двоичное число можно представить в виде степенного ряда?

N₍₂₎=K_n*2ⁿ+ K_n-1*2^n-1+…+ K₂*2²+ K₁*2¹ +K₀*2⁰ +K_-1*2^-1 +K_-2*2^-2+…+ K_-m*2^-m (1)

Где: N_{(2) –} число в двоичной системе счисления;

n – количество разрядов целой части;

m – количество разрядов дробной части числа.

Пример: Число 101001 в двоичной системе счисления можно записать следующим образом:

101001₍₂₎=1*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=32+8+1=41

Шестнадцатеричная система счисления используется для сокращения записи кодов команд и адресов операндов. Она удобна тем, что её основание – целая степень числа два: 16₍₁₀₎=2⁴_(10). Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную очень прост: достаточно заменить каждую шестнадцатеричную цифру двоичной тетрадой. Например: 14А1В₍₁₆₎=0001 0100 1010 0001 1011_(2). .(см. табл. 2.1)

Для перехода от двоичной системы к шестнадцатеричной поступают следующим образом. От запятой влево и вправо разбивают двоичное число по 4 разряда, добавляя при необходимости нулями крайние левые и правые группы. Затем каждую группу заменяют соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Аналогично поступают с переводом двоичного числа в 8-ую систему счисления. Для этого разбивают число на триады (по 3- разряда). (см. табл. 2.1.).

Восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления удобно пользоваться для перевода десятичных чисел в двоичную систему и обратно.

Запись числа в различных системах счисления

Таблица 2.1

Триады	Восьмеричный символ	Тетрады	Шестнадцатеричный символ
000	0	0000	0
001	1	0001	1
010	2	0010	2
011	3	0011	3
100	4	0100	4
101	5	0101	5
110	6	0110	6
111	7	0111	7
		1000	8
		1001	9
		1010	A
		1011	B
		1100	C
		1101	D
		1110	E
		1111	F

Пример. Перевести десятичное число 27 в двоичную систему, пользуясь восьмеричной системой.

Переводим десятичное число 27 в восьмеричную систему счисления:

27₁₀ : 8 = 3(3) ; 27₁₀ = 33₈ ,

затем восьмеричное число 33 переводим в двоичную систему счисления, используя таблицу 1.

33₈ = 011011₂ = 11011₂

Пример. Перевести двоичное число 0,110011 в десятичную систему, используя шестнадцатеричную систему счисления.

Сначала переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления: 0,110011₂ = 0,CC₁₆

Далее переведем, пользуясь формулой (1), число 0,СС из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему:

Правила перевода целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую различны. Рассмотрим перевод целой чисти числа А в систему счисления с основанием N. Число А, представленное в одной системе счисления, необходимо последовательно делить по правилам той системы счисления, в которой записано переводимое число, на основание N той системы счисления, в которую число переводится. Деление следует выполнять до тех пор, пока частное не окажется меньше делителя. Полученное остатки от деления и последнее частное, записанные в той системе счисления, в которую осуществляется перевод, будут являться разрядами числа в новой системе счисления, причем старшим разрядом – цифра последнего частного. При переводе дробной части числа необходимо её последовательно умножать на основание системы счисления до заданной точности (например 5 разрядов после запятой).

Например: перевести десятичное число 43 в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.

4 3 2 43 16

4 2 21 2 32 2

1 20 10 2 11

1 10 5 2

0 4 2 2 Следовательно, 43₍₁₀₎=101011₍₂₎=2В₍₁₆₎

1 2 1

0

Пример. Перевести десятичное число 12506 в шестнадцатеричную систему счисления и обратно.

	12508		16
	(12)		781		16
			(13)		48		16
					(0)		3

Имеем 12508₁₀ = 30DC₁₆

Обратный перевод можно осуществить: пользуясь формулой:

A = a_n • 16ⁿ + a_n-1 • 16^n-1 + ... + a₁ • 16¹ + a₀ • 16⁰ , где a_i = 0,1,2,...,15.

Тогда имеем A = 3 • 16³ + 0 • 16² + 13 • 16¹ + 12 • 16^{0 =} 12508.

Пример. Перевести число А = 0,2 из десятичной системы в двоичную систему счисления.

x	0,2 2	x	0,4 2	x	0,8 2	x	0,6 2	x	0,2 2
	0,4		0,8		1,6		1,2		0,4
	0		0		1		1		0

Ответ:

Из дальнейшего перевода видно, что процесс вычислений в этом примере будет бесконечно периодически повторяться и его необходимо оборвать при получении заданной точности перевода. Можно утверждать, что максимальная допустимая погрешность перевода определяется весом последнего полученного двоичного разряда. В приведенном примере вес последнего полученного разряда равен и, следовательно, небольшая погрешность перевода составляет

Из процедуры перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления и рассмотренного примера следует, что не все правильные десятичные дроби переводятся в двоичную систему счисления точно.

Если требуется перевести в двоичную систему счисления смешанное десятичное число, то для этого следует воспользоваться, сформулированными выше правилами отдельно для целой и дробной частей.