2.6. Распространение ошибок

Одним из наиболее важных вопросов в численном анали­зе является вопрос о том, как ошибка, возникшая в опре­деленном месте в ходе вычислений, распространяется даль­ше, т. е. становится ли ее влияние больше или меньше по ме­ре того, как производятся последующие операции. Крайним случаем является вычитание двух почти равных чисел: даже при очень маленьких ошибках обоих этих чисел относительная ошибка разности может оказаться очень большой. Эта большая относительная ошибка будет рас­пространяться дальше при выполнении всех последующих арифметических операций.

В качестве первого шага при рассмотрении этого важного вопроса необходимо найти выражения для абсолютной и относительной ошибок результата каждого из четырех арифметических действий как функции величин, участвую­щих в операции, и их ошибок.

Сложение

И меются два приближения х и у к двум величинам х и у, а также соответствующие абсолютные ошибки в х и в у. Тогда в результате сложения имеем

Ошибка суммы, которую мы обозначим через е_x+у , будет равна

e_х+у =e_х +e_у

Вычитание Тем же путем получаем

e_х-у =e_х - e_у

Умножение При умножении мы имеем

П оскольку ошибки обычно гораздо меньше самих величин, пренебрегаем произведением ошибок:

О шибка произведения будет равна

Д еление Имеем

П реобразовываем это выражение к виду

М ножитель, стоящий в скобках, при можно раз­ложить в ряд

Перемножая и пренебрегая всеми членами, которые содер­жат произведения ошибок или степени ошибок выше пер­вой, имеем

С ледовательно,

в качестве иллюстрации, которая может помочь нагляд­но представить себе смысл этих формул, рассмотрим сло­жение двух четырехзначных логарифмов. Так как оба лога­рифма точны до четвертого знака, то ошибка каждого из них не более 0.00005. Ошибка суммы не может быть больше 0.0001. Конечно, это не означает, что ошибка действительно столь велика, но означает только то, что ошибка может достигать такой величины.

Необходимо четко представлять себе, что знак ошибки бывает известен только в очень редких случаях. Не следует думать, например, что ошибка увеличивается при сложении и уменьшается при вычитании потому, что в формуле для сложения стоит плюс, а для вычитания — минус. Если, например, ошибки двух чисел имеют противоположные знаки, то дело будет обстоять как раз наоборот, т. е. ошибка уменьшится при сложении и увеличится при вычитании этих чисел.

После того как мы вывели формулы для распространения абсолютных ошибок при четырех арифметических дейст­виях, довольно просто вывести соответствующие формулы для относительных ошибок. Для сложения и вычитания формулы были преобразованы с тем, чтобы в них входила в явном виде относительная ошибка каждого исходного числа.

Сложение

В ычитание

У множение

Д еление

Очень важно четко понимать смысл этих формул распро­странения ошибок. Мы начинаем

арифметическую опера­цию, имея в своем распоряжении два приближенных значе­ния x и y

и с соответствующими ошибками в e_х и в e_y Ошибки эти могут быть любого происхождения. Величины x и y могут быть экспериментальными результатами, содержа­щими ошибки; они могут быть результатами предваритель­ного вычисления согласно какому-либо бесконечному про­цессу и поэтому могут содержать ошибки ограничения; они могут быть результатами предшествующих арифмети­ческих операций и могут содержать ошибки округления. Естественно, они могут также содержать в различных комбинациях и все три вида ошибок.

Вышеприведенные формулы дают выражение ошибки результата каждого из четырех арифметических действий как функции от x, y, e_x, e_y ошибка округления в данном арифметическом действии при этом не учитывается. Если же в дальнейшем необходимо будет подсчитать, как распро­страняется в последующих арифметических операциях ошибка этого результата, то необходимо к вычисленной по одной из четырех формул ошибке результата прибавить отдельно ошибку округления.

Мы часто будем в дальнейшем писать х без черточки свер­ху, хотя для полной строгости следовало бы писать эту черточку. Дело в том, что из контекста всегда в этих слу­чаях будет ясно, что мы имеем дело с приближениями, а не с точными величинами.

Проиллюстрируем распространение ошибки на кон­кретном примере. Предположим, что перед началом вычис­лений имеются три числа х, у и z, и для упрощения вопроса предположим, что исходные числа не содержат никаких ошибок. Необходимо вычислить

u=(х+у)-z.

Согласно тому, как написано выражение, сначала долж­но быть выполнено сложение. Оба слагаемых не содержат никаких ошибок, поэтому ошибка, распространяющаяся через сложение, равна нулю; однако при выполнении опера­ции сложения будет введена ошибка округления. Эта ошиб­ка округления уже будет содержаться в сумме перед нача­лом выполнения операции умножения. Обозначим через e_х+у общую ошибку суммы. Тогда

Число в правой части этой формулы является просто верх­ним пределом ошибки округления для любой арифметиче­ской операции при симметричном округлении. В данном слу­чае по-прежнему предполагается, что действительное число в ЭЦВМ представляется в виде десятичной дроби с t зна­чащими цифрами.

М ы знаем, что относительная ошибка произведения рав­на сумме относительных ошибок сомножителей плюс ошиб­ка округления при умножении. Так как результат умноже­ния равен и, нашему приближению к и, то можно написать

г де e_z/z равно относительной ошибке z и r_т равно ошибке округления при умножении. Но мы предполагали, что ошибка z равна нулю, а поэтому

(Последнее неравенство называется неравенством треуголь­ника: равенство имеет место, когда

e x+y/(x+y) и rm имеют одинаковые знаки, а неравенство— тогда, когда они имеют разные знаки.) Поэтому можно написать

_

Так как по окончании вычислений нам известно u , то легко можно найти максимально возможную абсолют­ную ошибку: